第16讲二次型及其矩阵 程x=2x2-2x3中,选取另一个基础解系: 51=(2,1,0),52=(-2,0,1) 则51,52虽线性无关,但不相互正交,因此,要正交化、单位化后才能作为正交矩阵P的相 应的列向量 例4设二次型f=x2+x2+x3+2ax1x2+2bx2x3+2x1x3(a>0,b>0)经正 交变换化成标准型f=y2+2y3试求常数a,b及正交变换矩阵P 分析根据二次型的矩阵和标准形的对角矩阵相似,从而有相同的特征值来求出常数 ,b,再把二次型的矩阵正交相似对角化可得正交变换矩阵 解因∫的矩阵A=a1b与对角阵A=1相似故A的特征值为x 2 =0时,因1A-0E|=0,即1A1=0,而 0a-b0 A 1 b 1 b (a-b)2=0, 故a=b;再由λ=1时,|A-E|=0,而 A-EI 01 0,b=0,A=010 1=0,解方程组(A-0E)x=0,可得基础解系,即A1=0对应的特征向量 5-(-101)单位化得,=(-是层) =1,解方程组(A-E)x=0,可得基础解系,即λ2=1对应的特征向量 2=(0,1,0),它已经是单位向量 A3=2,解方程组(A-2E)x=0.可得基础解系,即λ3=2对应的特征向量 5,=(101单位化可得6=(层) 由A的三个特征值相异,故对应的特征向量相互正交,由此得正交矩阵 P=010,则有PAP=010, Lo o 2 于是二次型f=x12+x2+x32+2ax1x2+2bx2x3+2x1x3,经正交变换x=Py化为