90 线性代数重点难点30讲 标准型∫=y2+2y3 例5已知二次型f(x1,x2,x3)=5x2+5x3+cx3-2x1x2+6x1x3-6x2x3的秩 为2,试求 (1)参数c及二次型对应的矩阵A的特征值; (2)方程f(x1,x2,x3)=1表示何种曲面 分析在此题(1)中主要涉及二次型的矩阵及矩阵的特征值的求法;(2)则综合线性代 数与解析几何的知识及二次型的标准形只有将二次型f化为标准形,才能显示出f(x1, x2,x3)=1表示何种二次曲面,所以(2)实际上是通过正交变换化二次型为标准形 解二次型f(x1,x2,x3)的秩即它的矩阵A的秩 3-3 因R(A)=2,故|A1=0.而 440 -16-3|=4(6c-18)=0, 解出c=3.再解A的特征方程|A-E|=0,即 A-AE1=-15 3=X(4-x)(x-9)=0 解得A1=0,A2=4,λ3=9 (2)由f的矩阵A的三个特征值互异,故可找到一个正交矩阵P以及正交变换x=Py 使∫化为标准形.即f(x1,x2,x3)=42+9,故f(x1,x2,x)=1表示椭圆柱面,其方程 为:4y2+9y=1 例6已知二次曲面方程为x2+ay2+x2+2y+2x+2y=4,可经正交变换y|= Py化为椭圆柱面方程y2+4y3=4试求a,b的值及正交矩阵P 解曲面方程左端为二次型f=x2+ay2+x2+2bxy+2x+2yx,经正交变换化为 标准形f=y2+4y23则f的矩阵A的特征值为A1=0,A2=1,A3=4 显然A1=0,A2=1分别满足特征方程|A-0E|=|A|=0,1A-E|=0.即