幂级数 冬根值法证明： ·[证]考察级数c ·由正项级数审敛法则可知，当 limc,="|=limc,==p<1 级数的 n->o0 ⑩级数收敛一 收敛半径为 D即☑<1/λ时，级数收敛且绝对收敛 R-1 ·当z小1/入时，级数发散 ⑩反证。假设在☑=1/λ外有一点z使级数收敛，在圆外另取一 点z,使得z<zo,根据Abel定理，级数∑Icn‖”|必收敛； = o又因为zP1/x,所以limc"|=lim==p>l 即∑c‖”|发散，与已知矛盾，因此当z小1/入时级数发散 lexu@mail.xidian.edu.cn ●0● 复变函数 lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数 幂级数 v根值法证明： § [证]考察级数 § 由正项级数审敛法则可知，当 •级数收敛 •即|z|<1/ λ时，级数收敛且绝对收敛 § 当|z|>1/ λ时，级数发散 •反证。假设在|z|=1/ λ外有一点z0使级数收敛，在圆外另取一 点z1，使得|z1|<|z0|，根据Abel定理，级数 必收敛； •又因为|z1|> 1/ λ，所以 •即 发散，与已知矛盾，因此当|z|>1/ λ时级数发散 0 | | n n n c z    lim | | lim | | 1 n n n n n n n c z c z z         1 0 | || | n n n c z    1 1 1 lim | | lim | | 1 n n n n n n n c z c z z         1 0 | || | n n n c z    级数的 收敛半径为 1 R   7