幂级数 。比值法证明： ·[证考察级数∑1c,”1 由正项级数审敛法则可知，当 =lim ==p<1 级数的 n-→ ⑩级数收敛”▣ 收敛半径为 D即☑<1/λ时，级数收敛且绝对收敛 R=) ·当z心1/λ时，级数发散 口 D反证。假设在-1/λ外有一点z使级数收敛，在圆外另取一 点z1,使得allzol,根据Abl定理，级数∑lcn‖z"|必收敛； Φ又因为PVx,所以mc=p>1 D即∑1c川”1发散，与已知矛盾， 因此当心1/x时级数发散 lexu@mail.xidian.edu.cn ● 复变函数 6lexu@mail.xidian.edu.cn 复变函数 幂级数 v比值法证明： § [证]考察级数 § 由正项级数审敛法则可知，当 •级数收敛 •即|z|<1/ λ时，级数收敛且绝对收敛 § 当|z|>1/ λ时，级数发散 •反证。假设在|z|=1/ λ外有一点z0使级数收敛，在圆外另取一 点z1，使得|z1|<|z0|，根据Abel定理，级数 必收敛； •又因为|z1|> 1/ λ，所以 •即 发散，与已知矛盾，因此当|z|>1/ λ时级数发散 0 | | n n n c z    1 1 1 | | lim lim 1 | | n n n n n n n n c z c z z c z c            1 0 | || | n n n c z   1  1 1 1 1 | | lim 1 | | n n n n n c z z c z         1 0 | || | n n n c z    级数的 收敛半径为 1 R   6