解由R=1可知，任取x∈(1)，级数∑a,x”绝对收敛，因此数列{a,x有界， 即存在正数M,使口，sM成立.于是对于(，四)的任意一点x,有 房 一方面，此值审敛法可以判定级数三产对任何都收敛，从而此较审敛达 知幂级数∑x对任何x也绝对收敛，即R=+切， 装自及=有合，放 =-0-oo, 从而=+0 铝解分新显然结果正确粗解法错误。因为风=，不能推出四合会1。的，罪级 a. 号当为奇数时 即吸果口合不存在，包用根监半敛法易知此帮级数的效半径为R-2。 分析求幂级数的和函数，通常要利用和函数的分析运算性质，将其转化为和函数己知 或者容易求出的形式。 解容易求得所给幂级数的收敛半径R=4,设 2 3 则 故 解 由 1 R =1 可知，任取 0 x  −( 1,1) ，级数 0 0 n n n a x  =  绝对收敛，因此数列  0  n n a x 有界， 即存在正数 M ，使 0 n n a x M 成立．于是对于 ( , ) − + 的任意一点 x ，有 0 0 0 ! ! ! n n n n n n n n a a x x M x x n n x n x =  ， 另一方面，由比值审敛法可以判定级数 0 0 ! n n n M x n x  =  对任何 x 都收敛，从而由比较审敛法可 知幂级数 0 ! n n n a x n  =  对任何 x 也绝对收敛，即 R2 = + ． 错误解答 由 1 R =1 有 1 lim 1 n n n a a + → = ，故 1 1 ! 1 lim lim 0 1 0 ( 1)! 1 n n n n n n a a n n a n a + + → →  = =  = + + ， 从而 R2 = + ． 错解分析 虽然结果正确但解法错误．因为 1 R =1 ，不能推出 1 lim 1 n n n a a + → = ．例如，幂级 数 0 2+( 1) 2 n n n n x  = −  ， 1 1 6 3 2 n n n a a n +   =    当 为偶数时 当 为奇数时 ， 即极限 1 lim n n n a a + → 不存在，但用根值审敛法易知此幂级数的收敛半径为 R = 2 ． 例 13 求幂级数 2 3 2 3 4 2 4 3 4 4 n n x x x x n +    1+ + + + + 的和函数． 分析 求幂级数的和函数，通常要利用和函数的分析运算性质，将其转化为和函数已知 或者容易求出的形式． 解 容易求得所给幂级数的收敛半径 R = 4 ，设 2 3 2 3 ( ) 4 2 4 3 4 4 n n x x x x s x n = +    1+ + + + + ， x −( 4,4) ， 则 2 1 2 3 1 1 ( ) 4 4 4 4 4 n n x x x s x x −  = + = − + + + + ， x −( 4,4) ， 故