”-1 放帮级数空字的敏放半径为R=3.又因为当1=时，经数即为空二·由于 1=-10 放此时琴级数发散：同样可知当1=一时琴级数也发散放帮级数三。子的收敛城为 (-3,3).而当1=3时，x=6:当1=-3时，x=0.故原级数的收半径为R=3,收敛域为(0,6 解法2由于 m别 -1 3" 故由比值审敛法可知，当p(x)=北-到<1，即0<x<6时，幕级数绝对收敛：当 P(x)=,女-3到>1即x<0或x>6时，幂级数发散。由此可知所求幕级数的收敛半径为 R=3.不难验证，当x=0和x=6时幂级数发散，故所求幂级数的收敛域为(0，句· (4)解法1由于 e恤同-=-r片=时状。 故由比值审敛法知：当)=4<1，即<，时，幂级数绝对收敛：当px)=4>1 即>)时，幂级数发散，由幂级数收敛半径的定义知，所求幂级数的收敛半径为R=又 国南省一号，数为空，收成做新案等氧最的收数线机为。 解法2令1=4，则原级数可化为2二，这里a,仁广，由公式法求得其 收敛半径为R=1,故当川<1，即<)时，原级数收敛：当>1，即>)时，原级数发 散。由此可知原级数的收敛半径为R=,当x=±时，级数为广，收敛，故所求 幂级数的收敛域为- 例12设幂级数立0，的收敛半径为R=1,求器级数三品r的收敛半径见，1 lim n n n a a  + → = = 1 3 lim 1 3 n n n n n → + − + − = 1 3 lim 1 3 3 n n n n → n − + − = 1 3 ， 故幂级数 0 1 3 n n n t n  = −  的收敛半径为 R = 3 ．又因为当 t = 3 时，级数即为 0 3 3 n n n n  = −  ，由于 3 1 lim lim 1 0 3 1 3 n n n n n → → n n = = −  − − ， 故此时幂级数发散；同样可知当 t =−3 时幂级数也发散．故幂级数 0 1 3 n n n t n  = −  的收敛域为 ( 3,3) − ．而当 t = 3 时， x = 6 ；当 t =−3 时， x = 0 ．故原级数的收半径为 R = 3 ，收敛域为 (0,6) ． 解法 2 由于 ( ) x = 1 ( ) lim ( ) n n n u x u x + → = 1 1 ( 3) 3 lim ( 1) 3 ( 3) n n n n n x n n x + → + − −  + − − = 1 3 lim 3 1 3 3 n n n n x → n − − + − = 1 3 3 x − ， 故由比值审敛 法可知， 当 ( ) x = 1 3 1 3 x −  ，即 0 6  x 时，幂级 数绝对收 敛；当 ( ) x = 1 3 1 3 x −  即 x  0 或 x  6 时，幂级数发散．由此可知所求幂级数的收敛半径为 R = 3 ．不难验证，当 x = 0 和 x = 6 时幂级数发散．故所求幂级数的收敛域为 (0,6) ． （4）解法 1 由于 ( ) x = 2 2 1 2 4 1 lim ( ) lim ( 1) 4 lim 4 n n n n n n n n n n u x x x x n n − → → → = − = = ． 故由比值审敛法知：当 2 ( ) 4 1 x x =  ，即 1 2 x  时，幂级数绝对收敛；当 2 ( ) 4 1 x x =  ， 即 1 2 x  时，幂级数发散．由幂级数收敛半径的定义知，所求幂级数的收敛半径为 1 2 R = ．又 因为当 1 2 x =  时，级数为 1 1 ( 1)n n n  − = −  ，收敛，故所求幂级数的收敛域为 1 1 [ , ] 2 2 − ． 解法 2 令 2 t x = 4 ，则原级数可化为 1 1 ( 1)n n n t n  − = −  ，这里 1 ( 1)n n a n − − = ，由公式法求得其 收敛半径为 R =1 ，故当 t 1 ，即 1 2 x  时，原级数收敛；当 t 1 ，即 1 2 x  时，原级数发 散．由此可知原级数的收敛半径为 1 2 R = ，当 1 2 x =  时，级数为 1 1 ( 1)n n n  − = −  ，收敛，故所求 幂级数的收敛域为 1 1 [ , ] 2 2 − ． 例 12 设幂级数 0 n n n a x  =  的收敛半径为 1 R =1 ，求幂级数 0 ! n n n a x n  =  的收敛半径 R2 ．