错解分析上面的错误原因在于错误地使用了Ab|定理，Ab1定理是对形如∑a,x的 级数适用。而对于空Q,-y则不能直接用。 例11求下列幂级数的收敛半径与收敛域： r六 8)=x 4-产 分析(1)所给幂级数不缺项，故可直接用公式来求幂级数的收敛半径，求ρ时可用 比值法也可用根值法，用后者时要用到结论：m所+1=1， 么，()=一X,幕级数缺少偶次项，故不能直接用公式求幂级数的半径 用比值法或根值法，这里用比值法较好. 《)1一，则级数可化为空。字，样可技前面的方法未求读帮级数的 收敛域，再利用关系1=x-3就可求得原级数的收敛域. (④)4=-广一号产，幂级数缺少奇次项，故不能直接用公式求幂级数的半径， 而用比值法或根值法，这里用根值法较好 解(1)由于 p-。 ㎡2+1 1+ 2 故所求幂级数的收敛半径为R=当x=时，原级最为区。，收敛：当=号时， 原级数为，收敛。故所求影级数的收敛城为岁 (2)由于 o-回r希-r-=-, 由比值审敛法知：当px)=<1,即<1时，幂级数绝对收敛：当p(x)=>1,即>1 时，幂级数发散.由幂级数收敛半径的定义知，所求幂级数的收敛半径为R=1,又因为当 一时，级数为空-收数。当时，级数为区广也收敛。故所 求幂级数的收敛域为[-1， 3)解法1令1=-。则原级数可化为空，由于 错解分析 上面的错误原因在于错误地使用了 Abel 定理，Abel 定理是对形如 0 n n n a x  =  的 级数适用，而对于 0 0 ( )n n n a x x  =  − 则不能直接用． 例 11 求下列幂级数的收敛半径与收敛域： （1） 2 1 2 1 n n n x n  = +  ； （2） 2 1 1 ( 1) 2 1 n n n x n  + = − +  ； （3） 0 ( 3) 3 n n n x n  = − −  ； （4） 1 2 1 4 ( 1) n n n n x n  − =  − ． 分析 （1）所给幂级数不缺项，故可直接用公式来求幂级数的收敛半径，求  时可用 比值法也可用根值法，用后者时要用到结论： 2 lim 1 1 n n n → + = ． （2） 2 1 ( ) ( 1) 2 1 n n n x u x n + = − + ，幂级数缺少偶次项，故不能直接用公式求幂级数的半径，而 用比值法或根值法，这里用比值法较好． （3）令 t x = − 3 ，则原级数可化为 0 1 3 n n n t n  = −  ，这样就可按前面的方法来求该幂级数的 收敛域，再利用关系 t x = − 3 就可求得原级数的收敛域． （4） 1 2 4 ( ) ( 1) n n n n u x x n − = − ，幂级数缺少奇次项，故不能直接用公式求幂级数的半径， 而用比值法或根值法，这里用根值法较好． 解 （1）由于 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 lim lim 2lim 2lim 2 ( 1) 1 2 ( 1) 1 1 1 (1 ) n n n n n n n n a n n n a n n n n  + + → → → → + + + = =  = = = + + + + + + ， 故所求幂级数的收敛半径为 1 1 2 R  = = ．当 1 2 x = 时，原级数为 2 1 1 n n 1  = +  ，收敛；当 1 2 x = − 时， 原级数为 2 1 ( 1) 1 n n n  = − +  ，收敛．故所求幂级数的收敛域为 1 1 [ , ] 2 2 − ． （2）由于 ( ) x = 1 ( ) lim ( ) n n n u x u x + → = 2 3 1 2 1 2 1 lim ( 1) ( 1) 2 3 n n n n n x n n x + + → + + −  − + = 2 1 2 lim n 2 3 n x → n + + = 2 x ， 由比值审敛法知：当 2 ( ) 1 x x =  ，即 x 1 时，幂级数绝对收敛；当 2 ( ) 1 x x =  ，即 x 1 时，幂级数发散．由幂级数收敛半径的定义知，所求幂级数的收敛半径为 R =1 ．又因为当 x = 1 时，级数为 1 1 ( 1) 2 1 n n n  = − +  ，收敛；当 x =−1 时，级数为 1 1 1 ( 1) 2 1 n n n  + = − +  ，也收敛．故所 求幂级数的收敛域为 [ 1,1] − ． （3）解法 1 令 t x = − 3 ，则原级数可化为 0 1 3 n n n t n  = −  ，由于