豪居辰后后 由比值审敛法知级数∑√，收敛。 错解分析正项级数的比值审敛法的逆命题不成立，也就是说，若<1，则正项级数 三a收敛：反之，若正项级数2a收敛，并非一定有p<1,也有可能1或极限m 不存在。同样需要注意的是，正项级数的根值审敛法的逆命题也不成立。 例9若幂级数∑a,x在x=2处收敛，则该级数在x=-1处（)人 A.绝对收敛.B.条件收敛C.发散.D.敛散性不能确定 解因为幂级数三a在x=2处收敛，由他e1定理可知，对于适合不等式<2的一 切x使该级数绝对收敛，即该级数在区间(-2,2)内绝对收敛.而-1(-2,2)，故该级数在 x=-1处绝对收敛，因此答案是A, 例10若幂级数a,(x-少在x=-1处收敛， (1)试讨论该幂级数在x=2处的敛散性 (2)该幂级数在x=4处收敛性如何？ 解(1)令1=x-1,则 Ea(-iy-Ear, 由幂级数(x-在x=-1处收敛知，幕级数∑r在1=-2处收敛，由b©1定理可知， 对于适合不等式川<2的一切1使该级数绝对收敛，即幂级数∑”在区间(-2,2)内绝对收 敛：从而可知∑4，(x-少在(-13)内绝对收敛.而x=2是区间(~L3)内的点，故幂级数 0,(-y在x=2处绝对收敛. (2)由(1)知，幂级数∑a,(x-1)°在x=4处的收敛性不能确定. 错误解答(1)因为幂级数∑a.(x-)在x=-1处收敛，由be1定理可知，对于适 合不等式x-<1的一切x使该级数绝对收敛，即该级数在区间(0,2)内绝对收敛.而x=2是 区间(0,2)的端点，故该级数在x=2处的收敛性不能确定.。 (2)由(1)知，该级数在x=4处的收敛性也不能确定。1 1 1 1 1 1 lim lim lim lim 1 n n n n n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b  + + + + + + → → → → = = =  ， 由比值审敛法知级数 1 n n n a b  =  收敛． 错解分析 正项级数的比值审敛法的逆命题不成立，也就是说，若  1 ，则正项级数 1 n n a  =  收敛；反之，若正项级数 1 n n a  =  收敛，并非一定有  1．也有可能 =1 或极限 1 lim n n n a a + → 不存在．同样需要注意的是，正项级数的根值审敛法的逆命题也不成立． 例 9 若幂级数 0 n n n a x  =  在 x = 2 处收敛，则该级数在 x =−1 处（ ）． A．绝对收敛． B．条件收敛 C．发散． D．敛散性不能确定． 解 因为幂级数 0 n n n a x  =  在 x = 2 处收敛，由 Abel 定理可知，对于适合不等式 x  2 的一 切 x 使该级数绝对收敛，即该级数在区间 ( 2,2) − 内绝对收敛．而 −  − 1 ( 2,2) ，故该级数在 x =−1 处绝对收敛，因此答案是 A． 例 10 若幂级数 0 ( 1)n n n a x  =  − 在 x =−1 处收敛， （1）试讨论该幂级数在 x = 2 处的敛散性； （2）该幂级数在 x = 4 处收敛性如何？ 解 （1）令 t x = −1 ，则 0 0 ( 1)n n n n n n a x a t   = =   − = ， 由幂级数 0 ( 1)n n n a x  =  − 在 x =−1 处收敛知，幂级数 0 n n n a t  =  在 t =−2 处收敛，由 Abel 定理可知， 对于适合不等式 t  2 的一切 t 使该级数绝对收敛，即幂级数 0 n n n a t  =  在区间 ( 2,2) − 内绝对收 敛；从而可知 0 ( 1)n n n a x  =  − 在 ( 1,3) − 内绝对收敛．而 x = 2 是区间 ( 1,3) − 内的点，故幂级数 0 ( 1)n n n a x  =  − 在 x = 2 处绝对收敛． （2）由（1）知，幂级数 0 ( 1)n n n a x  =  − 在 x = 4 处的收敛性不能确定． 错误解答 （1）因为幂级数 0 ( 1)n n n a x  =  − 在 x =−1 处收敛，由 Abel 定理可知，对于适 合不等式 x −  1 1 的一切 x 使该级数绝对收敛，即该级数在区间 (0,2) 内绝对收敛．而 x = 2 是 区间 (0,2) 的端点，故该级数在 x = 2 处的收敛性不能确定． （2）由（1）知，该级数在 x = 4 处的收敛性也不能确定．