e)-s0=本=-4-城=n4-n4-动，xe(-44, 又因为s到0)=1，故sx)=1+ln4-n(4-x),x∈(-4,4).此外，当x=-4时，所给幂级数收 敛，其和函数也连续：当x=4时，所给幂级数发散.故幂级数的收敛区域为[-4,4)· 于是sx)=1+n4-ln4-),x∈-4.4)为所求. 错误解答容易求得所给幂级数的收敛半径R=4,设 w-学2豆e3.+.e40 =4-本=4-g=n4-4-xe(44): 铅解分析因为0)=120，所以()产二本.另外，当x=4时，所给幂级数收 敛，其和函数也连续。故收敛域应包括区间的左瑞点x=-4。 例14求下列幂级数的和函数： (1) 2)2a+r G)含 分析(I)关键是通过逐项积分消去，使级数化为∑的形式求和. (2)关键是通过两次逐项积分消去n+),使级数化为∑x”的形式求和 (3)关键是通过两次逐项求导消去分母中的n+),使级数化为∑x"的形式求和. 解0先效数议由=回坦器得版数幸轻.当时紧 级数变成工m,是发散的：当x=-1时，幂级数变成工(-广，是发散的，因此收敛线为 (-1,).下面求和函数. 设x)=∑一，x∈(-l).上式两边从0到x积分，得 j广sh=2m=2m=r=吾，(l<x<D 上式两边再对x求导，得0 0 1 ( ) (0) [ln(4 )] ln 4 ln(4 ) 4 x x s x s dx x x x − = = − − = − − −  ， x −( 4,4) ． 又因为 s(0) 1 = ，故 s x x ( ) 1 ln 4 ln(4 ) = + − − ，x −( 4,4) ．此外，当 x =−4 时，所给幂级数收 敛，其和函数也连续；当 x = 4 时，所给幂级数发散．故幂级数的收敛区域为 [ 4,4) − ． 于是 s x x ( ) 1 ln 4 ln(4 ) = + − − ， x −[ 4,4) 为所求． 错误解答 容易求得所给幂级数的收敛半径 R = 4 ，设 2 3 2 3 ( ) 4 2 4 3 4 4 n n x x x x s x n = +    1+ + + + + ， x −( 4,4) ， 则 2 1 2 3 1 1 ( ) 4 4 4 4 4 n n x x x s x x −  = + = − + + + + ， x −( 4,4) ． 故 0 0 1 ( ) [ln(4 )] ln 4 ln(4 ) 4 x x s x dx x x x = = − − = − − −  ， x −( 4,4) ． 错解分析 因为 s(0) 1 0 =  ，所以 0 1 ( ) 4 x s x dx x  −  ．另外，当 x =−4 时，所给幂级数收 敛，其和函数也连续．故收敛域应包括区间的左端点 x =−4 ． 例 14 求下列幂级数的和函数： （1） 1 1 n n nx  − =  ； （2） 1 ( 1) n n n n x  =  + ； （3） 1 ( 1) n n x n n  = +  ； 分析 （1）关键是通过逐项积分消去 n ，使级数化为 n x 的形式求和． （2）关键是通过两次逐项积分消去 n n( 1) + ，使级数化为 n x 的形式求和． （3）关键是通过两次逐项求导消去分母中的 n n( 1) + ，使级数化为 n x 的形式求和． 解 （1）先求收敛域．由 1 2 lim lim 1 1 n n n n a n a n  + → → + = = = + 得收敛半径 R =1 ．当 x = 1 时，幂 级数变成 n 1 n  =  ，是发散的；当 x =−1 时，幂级数变成 1 1 ( 1)n n n  − =  − ，是发散的，因此收敛域为 ( 1,1) − ．下面求和函数． 设 1 1 ( ) n n s x nx  − = =  ， x −( 1,1) ．上式两边从 0 到 x 积分，得 1 1 0 0 0 1 1 1 ( ) ( ) 1 x x x n n n n n n x s x dx nx dx nx dx x x    − − = = = = = = = −       ，( 1 1) −  x ， 上式两边再对 x 求导，得 s x( ) = ( ) 1 x x  − = 2 1 (1 ) − x ，( 1 1) −  x ．