理 (1)若0≠f(x)g(x)∈Kx,则f(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式。 (2)在带余除法f(x)=q(x)g(x)+r(x)中f(x)与g(x)公因式集 和g(x)与r(x)公因式集相同。 设f(x),g(x)∈K(x不全为零,则f(x)与g(x)的最大公因式d(x)存在,且 存在u(x),(x)∈K[x],使得 d(x)=f(r)u(r)+g(r)o(r) 证明:辗转相除法:利用前面引理,当f(x)和g(x)中有一个整除另一个 时,如g(x)|f(x)时,则g(x)为最大公因式 g(x)=f(x)×0+g(x)×1。 由引理(2) 要求f(x)与g(x)的最大公因式,只需求 g(x)与r(x)的最大公因式,且此时r(x)是f(x)与g(x)的组合;再辗转, 用g(x)与r(x)的带余除法得余式,如此往复,得到结论 最大公因式与数域无关。pê õ‘ª ŒúϪ Únµ (1) e 0 6= f(x) | g (x) ∈ K [x]§K f(x) ´ f(x) † g (x) ‡ŒúϪ" (2) 3‘{Ø{ f(x) = q(x)g(x) + r(x) ¥ f(x) † g(x) úϪ8 Ú g(x) † r(x) úϪ8ƒÓ" ½n  f(x), g(x) ∈ K [x] ؏"§K f (x) † g (x) ŒúϪ d(x) 3§… 3 u(x), v(x) ∈ K [x]§¦ d(x) = f(x)u(x) + g(x)v(x)" y²µ Î=ƒØ{µ|^c¡Ún§ f (x) Ú g (x) ¥k‡Ø,‡ ž§X g (x) | f (x) ž§K g (x) ŒúϪ§… g (x) = f (x) × 0 + g (x) × 1" dÚn£ 2 ¤§‡¦ f (x) † g (x) ŒúϪ§I¦ g (x) † r(x) ŒúϪ§…dž r(x) ´ f (x) † g (x) |ܶ2Î=§ ^ g (x) † r(x) ‘{Ø{{ª§Xd E§(Ø" 5 ŒúϪ†êÃ'"