Methods ofMathematical Physics(2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys. FDU 绝对收敛:如果∑|收敛,则称∑二绝对收敛。 绝对收敛的性质: ◆绝对收敛的级数一定收敛(因为 <∑|k<E),反之不定 ◆绝对收敛的级数可以改换求和次序。特别是,可 以把一个收救级数拆成几个子级数,每个子级数 仍绝对收敛。 ◆两个绝对收敛级数的积仍然绝对收敛 a, a,b, a,b,a,b a2a2b。a2b,a2b2 例如,S=∑an,S2=∑b是绝对收敛的,则 [注意最后一步的l=k-n及n的取值范围] SS2=∑an∑b=∑∑ab=∑∑ab-(b=0)因为|an和|b k=0 构成的实数级数收敛,所以anbn构成的实数级数也收敛。 由于∑|k是一个实数级数,而且是一个正项级数,因此高等数学中任何一种 正项级数的收敛判别法都可用来判别一个复数项级数是否绝对收敛。 下面列出了一些常用的收敛判别法(自证或者查资料证明之) 比较判别法:若四1≤v,而∑v收敛,则∑收敛 若12v,而∑v发散,则∑发散 比值判别法( D'Alembert判别法)若m=1<1,则∑收敛 若lm 1>1,则∑发散 若1mn以=1=1,∑叫可能收敛,也可能发散Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 4 绝对收敛：如果   k=1 k z 收敛，则称   k=1 k z 绝对收敛。 绝对收敛的性质： ◆ 绝对收敛的级数一定收敛（因为：      + = + + = + n p k n k n p k n k z z 1 1 ），反之不定。 ◆ 绝对收敛的级数可以改换求和次序。特别是，可 以把一个收敛级数拆成几个子级数，每个子级数 仍绝对收敛。 ◆ 两个绝对收敛级数的积仍然绝对收敛。 例如，   = = 0 1 n S an ，   = = 0 2 l S bl 是绝对收敛的，则 [注意最后一步的 l k n = − 及 n 的取值范围] 1 2 0 0 0 0 0 0 . k n l n l n k n n l n l k n S S a b a b a b      − = = = = = =  = = =     | | ( 0) l b− = 因为 | | n a 和 | | l b 构成的实数级数收敛，所以 | | n k n a b − 构成的实数级数也收敛。 由于   k=1 k z 是一个实数级数，而且是一个正项级数，因此高等数学中任何一种 正项级数的收敛判别法都可用来判别一个复数项级数是否绝对收敛。 下面列出了一些常用的收敛判别法（自证或者查资料证明之） 比较判别法：若 k k u  v ，而   k=1 k v 收敛，则   k=1 uk 收敛； 若 k k u  v ，而   k=1 k v 发散，则   k=1 uk 发散； 比值判别法（D’Alembert 判别法）：若 lim 1 1 =  + → l u u k k k ，则   k=1 uk 收敛； 若 lim 1 1 =  + → l u u k k k ，则   k=1 uk 发散； 若 lim 1 1 = = + → l u u k k k ，   k=1 uk 可能收敛，也可能发散；