显然,如果写成zn=an+ibn,A=a+,则mn=An athematical Physics(2016 Chapter 3 Series of complex variable functions lim b= b a 例如,对于点列},有 不存在a (5)序列极限存在(序列收敛)的 Cauchy充要条件:任给E>0,存在 正整数N,使对于任意正整数p,有-N|<6 个无界序列不可能是收敛的 2.复数项级数 复数项级数的收敛:一个复数级数,x1+ :,如果它的 部分和Sn=∑所构成的序列{Sn}收敛,即有极限mSn=S,则称 级数∑收敛,而序列{Sn}的极限S称为级数∑=的和;如果级数 imSn不存在(无穷或不定),则称∑二发散 注 =∑Re+∑m=,因此,一个复数级数完全等价于两个实 数级数。若∑Re,∑m:都收敛,则∑:收敛:若∑Re= ∑m=k至少有一个发散,则∑=发散。 ∑=收敛的充要条件( Cauchy收敛判据):任给E>0,存在正整数N, 使对于任意正整数p≥1,有 <E 特别是,令p=1,则得到级数收敛的必要条件:im|=0Methods of Mathematical Physics (2016.09) Chapter 3 Series of complex variable functions YLMa@Phys.FDU 3 显然，如果写成 n n n z = a + ib ， A = a +ib ，则     = = =  → → → b b a a z A n n n n n n lim lim lim 例如，对于点列   n  ，有        =  =    = → 1 1 1 1 1 0 1 lim       不存在 且 n n （5）序列极限存在（序列收敛）的 Cauchy 充要条件：任给   0 ，存在 正整数 N ，使对于任意正整数 p ，有 −   N+ p N z z . 一个无界序列不可能是收敛的。 2． 复数项级数 复数项级数的收敛：一个复数级数， 1 2 1 k k k z z z z  = + + + =  ，如果它的 部分和 = = n k n k S z 1 所构成的序列 Sn  收敛，即有极限 Sn S n = → lim ，则称 级数   k=1 k z 收敛，而序列 Sn  的极限 S 称为级数   k=1 k z 的和；如果级数 n n S → lim 不存在（无穷或不定），则称   k=1 k z 发散。 注：     =  =  = = + 1 1 1 Re Im k k k k k k z z i z ，因此，一个复数级数完全等价于两个实 数级数。若   =1 Re k k z ，   =1 Im k k z 都收敛，则   k=1 k z 收敛；若   =1 Re k k z ，   =1 Im k k z 至少有一个发散，则   k=1 k z 发散。   k=1 k z 收敛的充要条件（Cauchy 收敛判据）：任给   0 ，存在正整数 N ， 使对于任意正整数 p 1, 有    + = + N p k N k z 1 . 特别是，令 p = 1 ，则得到级数收敛的必要条件： lim = 0 → k k z