Methods of Mathematical P 016.11)Chapter9 Determinate solution problem of equations YLMa@Phys. FDU 价于弦上相互间有小的弹簧相连一最简单的相互作用! 3)所有外力都垂直于x轴,外力线密度为F(x,t) 4)设(细长)弦的线密度为p(x,1),重力不计。 (3)取局部:在点x处取弦段dx,dx是如此之小,以至可以把它看成质点(微 元)。质量:p(x,t)dx 长山(+((即这一小吸的长度在报 动过程中可以认为是不变的,因此它的密度px)不随时间变化,另 外根据 Hooke定律δF=-kδx可知,张力r(x,1)也不随时间变化,我 们把它们分别记为p(x)和7(x) (4找作用:找出弦段dx所受的力。外力:F(x,)dx,垂直于x轴方向 张力变化:( Cosa)ls-( Cosa)=7(x+dx)-7(x),x方向紧绷, (Tsina)l-(Tsina)=(T)-(7)=(u),dx 垂直于x轴方向 (5)冽列方程:根据牛顿第二定律 T(x+dx)-7(x)=0,因x方向无位移,故T(x+dx)=7(x)=T P(x)dxu,=F(x, t)dx+(Tu,)dx= F(x, tdx+Tudx ∞4n=f(x,1),其中(x=大(x2)是单位质量所受外力 T 如果弦是均匀的,即p为常数,则可写a=为弦振动的传播速度,则 um-a'u r =f(, 对于自由运动,即无源∫=0,这个方程简化为齐次方程:un-a2ln=0 在有界实空间的适当边界条件下,通过分离变量和求解本本征值问题, 得到与a啊相关的本征值,再与实验频率相比较,即可求得材料的aMethods of Mathematical Physics (2016.11) Chapter 9 Determinate solution problem of equations YLMa@Phys.FDU 3 价于弦上相互间有小的弹簧相连—最简单的相互作用！)。 3) 所有外力都垂直于 x 轴，外力线密度为 F(x,t) . 4) 设（细长）弦的线密度为 (x,t) ，重力不计。 (3)取局部：在点 x 处取弦段 dx , dx 是如此之小,以至可以把它看成质点(微 元)。 质量： (x,t)dx . 弧长： x x x u ds dx du 1 d d 2 2 2          = + = + （即这一小段的长度在振 动过程中可以认为是不变的，因此它的密度 (x,t) 不随时间变化，另 外根据 Hooke 定律   F k x = − 可知，张力 T(x,t) 也不随时间变化，我 们把它们分别记为 (x) 和 T (x) . (4)找作用：找出弦段 dx 所受的力。外力： F(x,t)dx ，垂直于 x 轴方向； 张力变化：(T T T x x T x cos | cos | ( d ) ( )   ) x x x +d − = + − ( ) , x 方向紧绷， ( sin | sin | | | d ) x x x x x x x x x d d ( ) ( ) ( ) ( )x T T Tu Tu Tu x   + + − = − = , 垂直于 x 轴方向。 (5)列方程：根据牛顿第二定律 T(x + dx) − T(x) = 0 ，因 x 方向无位移，故 T(x + dx) = T(x) = T . x x u F x t x (Tu ) x F x t x Tu x ( )d tt = ( , )d + x x d = ( , )d + xxd 即 u f (x,t) T utt − xx =  ，其中  ( , ) ( , ) F x t f x t = 是单位质量所受外力。 如果弦是均匀的，即  为常数，则可写  T a = 为弦振动的传播速度，则 ( , ) 2 u a u f x t tt − xx = . 对于自由运动，即无源 f  0 ，这个方程简化为齐次方程： 2 0 tt xx u a u − = . 在有界实空间的适当边界条件下，通过分离变量和求解本本征值问题， 得到与 a 啊相关的本征值，再与实验频率相比较，即可求得材料的 a