概率论基础知识 主讲:姜瑸麟(北京邮电) 定义2:在相同条件下,将试验重复n次,如果随着重复试验次数n的增大,事件A的频率f(A越来越 稳定地在某一常数p附近摆动,则称常数p为事件A的概率,即P(A)= 不难证明频率有以下基本性质: 2°f32)=1 3°若A,A,…,两两互不相容,则fdJA)=∑(4) 3、概率的公理化定义(数学定义 定义3:设某试验的样本空间为9,对其中每个事件A定义一个实数P(A),如果它满足下列三条公理: 1°P(A)≥0(非负性)2°P(Ω)=1(规范性) 3°若A,A2,…An…两两互不相容,则PA)=∑P(A)(可列可加性,简称可加性) 则称P(A)为A的概率 4、几何定义 定义4:假设9是Rn(n=1,2,3)中任何一个可度量的区域,从Ω中随机地选择一点,即9中任何一点都有 同样的机会被选到,则相应随机试验的样本空间就是Ω,假设事件A是Ω中任何一个可度量的子集,则 P(A)=0(A)0(9) §2概率的性质 性质1:若AcB,则P(BA=P(B)-P(A0 差的概率等于概率之差 证:因为:ACB 所以:B=AU(B-A)且A∩(BA)=中,由概率可加性 B-A fP(B)=PAU (B-A)=P(A)+P(B-A) B=AU(B-A) 即P(B-A)=P(B)-P(A) 性质2:若ACB,则P(A)≤P(B)一一概率的单调性 证:由性质1及概率的非负性得0≤P(BA)=P(B)-P(A),即P(A)≤P(B) 性质3:P(A)≤1 证明:由于AcΩ,由性质2及概率的规范性可得P(A)≤1 性质4:对任意事件A,P(A)=1P(A) 证明:在性质1中令B=9便有P(A)=P(9-A)=P(9)-P(A)=1P(A) 第8页 akaiziliu概率论基础知识 主讲：姜瑸麟（北京邮电） 第 8 页 @kaiziliu 定义 2：在相同条件下，将试验重复 n 次，如果随着重复试验次数 n 的增大，事件 A 的频率 fn(A)越来越 稳定地在某一常数 p 附近摆动，则称常数 p 为事件 A 的概率，即 P（A）=p 不难证明频率有以下基本性质： 1° 2° 3° 若 A1，A2，……，两两互不相容，则 3、概率的公理化定义 （数学定义） 定义 3：设某试验的样本空间为Ω，对其中每个事件 A 定义一个实数 P（A），如果它满足下列三条公理： 1° P（A） ≥0（非负性） 2° P（Ω）=1（规范性） 3° 若 A1，A2，……，An……两两互不相容，则 （可列可加性，简称可加性） 则称 P（A）为 A 的概率 4、几何定义 定义 4：假设Ω是 Rn(n=1,2,3)中任何一个可度量的区域，从Ω中随机地选择一点，即Ω中任何一点都有 同样的机会被选到，则相应随机试验的样本空间就是Ω，假设事件 A 是Ω中任何一个可度量的子集，则 P(A)==ū(A)/ ū(Ω) §2 概率的性质 性质 1：若 A B, 则 P(B-A)=P(B)-P(A) ——差的概率等于概率之差 证： 因为：A B 所以：B=A∪(B-A)且 A∩(B-A)=φ,由概率可加性 得 P（B）=P[A∪（B-A）]=P（A）+P（B-A） 即 P（B-A）=P（B）-P（A） 性质 2：若 A B， 则 P（A）≤P（B） ——概率的单调性 证：由性质 1 及概率的非负性得 0≤P（B-A）=P（B）-P（A），即 P（A）≤P（B） 性质 3：P（A）≤1 证明：由于 A Ω，由性质 2 及概率的规范性可得 P（A）≤1 性质 4：对任意事件 A，P（ ）=1-P（A） 证明：在性质 1 中令 B=Ω便有 P（ ）=P（Ω-A）=P（Ω）-P（A）=1-P（A）