《数学分析》下册 第十八章隐函数定值及其应用 海南大学数学系 =uF +vF+wF 将x2=w,y2=w,2=m代入即得 xf+f,+f:=F。+E+wF 例2若：=x,)有连续二阶偏导数，满足方程：： 三，证明： =( 若把：=(x,y)中y看成x,:的函数，则它满足同样形状的方程 证由：=fx,y)确定y是x,:的函数，则有：=fx,(x,),方程两边分别 对x,:求偏导，得 0=Y+ (1) dx dy dx 1s⊙ (2) ()式再分别对x,:求偏导，得 0器器 (3) 0=0⊙+0+a (4) ary证2xzyx (2)式再对：求偏导，得 (5) dy d 由(3)(5)式 票0+碧器+兴1 3《数学分析》下册 第十八章 隐函数定值及其应用 海南大学数学系 3 u v wFw = uF + vF + . 将 x = vw 2 ， y = uw 2 ， z = uv 2 代入即得 x y z u v wFw xf + yf + zf = uF + vF + . 例 2 若 z = f (x, y) 有连续二阶偏导数，满足方程 2 2 2 2 2 2 ( ) x y z y z x z    =     ，证明： 若 把 z = f (x, y) 中 y 看 成 x,z 的 函 数 ， 则 它 满 足 同 样 形 状 的 方 程 2 2 2 2 2 2 ( ) x z y z y x y    =     . 证 由 z = f (x, y) 确定 y 是 x,z 的函数，则有 z = f (x, y(x,z)) ，方程两边分别 对 x,z 求偏导，得 x y y f x f     +   0 = , （1） z y y f     1 = , （2） (1)式再分别对 x,z 求偏导，得 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 ( ) x y y f x y y f x y x y f x f     +     +      +   = , (3) x z y y f z y x y y f z y x y f      +       +      = 2 2 2 2 0 , （4） (2)式再对 z 求偏导，得 2 2 2 2 2 0 ( ) z y y f z y y f     +     = , （5） 由（3）（5）式 2 2 2 2 2 ( ) z y y f x f       [2 ( ) ] 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y f x y y f x y x y f z y y f     +     +          = ( ) [2 ( ) ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y f x y x y f z y y f y f z y x y     +          +       =