《数学分析》下册 第十八章隐函数定值及其应用海南大学数学系 F(x,f(x)=0. 2函数fx)在区间(x。-a,x。+a)内连续 例1设x2=w,y2=w,z2=m及f(x,y,)=F(u,yw),证明 对+f,+f=uF+vF+wF [x2=vw [x=x(u.v.w) 证方程组y2=w确定了函数组 y=山，yw),先求这个函数组对各 2=m =z(u,w) 变元的偏导数，为此，对方程组求微分得 [2xdx=wdy +vdw =h+2咖 B=+咖，即=号血+号 2d vdu+udy 0" du ov ow 2x2x 0 u ov aw（2:2 0 将函数组代入方程f(x,y,)=F(,w),得关于变元山，w的方程 f(x(u,v,w)vu,v,w)=(u,v.w))=F(u.v,w), 在这方程两边分别对“，”，w求偏导，得 ++宗 将上面三式分别乘以“，w后再相加，得 5%+1+2要+2+器+罗 《数学分析》下册 第十八章 隐函数定值及其应用 海南大学数学系 2 F(x , f (x))  0 . 2 函数 f (x) 在区间 ( , ) x0 − x0 + 内连续 . 例 1 设 x = vw 2 ， y = uw 2 ， z = uv 2 及 f (x, y,z) = F(u,v,w) ，证明 x y z u v wFw xf + yf + zf = uF + vF + 证 方程组      = = = z uv y uw x vw 2 2 2 确定了函数组      = = = ( , , ) ( , , ) ( , , ) z z u v w y y u v w x x u v w ，先求这个函数组对各 变元的偏导数，为此，对方程组求微分得      = + = + = + zdz vdu udv ydy wdu udw xdx wdv vdw 2 2 2 ， 即          = + = + = + dv z u du z v dz dw y u du y w dy dw x v dv x w dx 2 2 2 2 2 2 故                                     w z v z u z w y v y u y w x v x u x                   = 0 2 2 2 0 2 2 2 0 z u z v y u y w x v x w 将函数组代入方程 f (x, y,z) = F(u,v,w) ，得关于变元 u, v,w 的方程 f (x(u,v,w), y(u,v,w),z(u,v,w)) = F(u,v,w) ， 在这方程两边分别对 u, v,w 求偏导，得 x y z Fu u z f u y f u x f =   +   +   , x y z Fv v z f v y f v x f =   +   +   , x y z Fw w z f w y f w x f =   +   +   , 将上面三式分别乘以 u, v,w 后再相加，得 + + z uv f y uw f y z 2 2 z uv f x vw f x z 2 2 + y uw f x vw f x y 2 2 + +