三章理性消费者 给出优次排序。本节从序数效用概念出发,对消费者在商品消费中获得的满足程度进行分析。 效用函数的概念 消费者对各种可行消费方案排出的优劣次序,很类似于实数之间的大小顺序。的确,序 数效用论者就是这么看待商品效用的。他们认为,按照实数之间的大小顺序可以标出各种消 费方案之间的优劣次序。但是,这种观点的正确性直到1954年才由德布罗给出了证明 效用函数就是序数效用论者所说的那种表示消费方案优次排序的函数。具体来讲,设 是消费集合X的偏好关系,一个定义在X上的实值函数t叫做是≤的效用函数,是指u满足 如下条件:(vx,y∈X(x=y)分(u(x)≤l(y))。当a是≤的效用函数时,也称u是≤的效用 表示,或称=是u诱导的偏好关系。 显然,效用函数的意义在于用实数顺序给出了各种消费方案的优次排序。可以看出,如 果u是偏好关系≤的效用函数,那么任何严格递增函数φ:R→R与u的复合ν(x)=((x)(对 于x∈X)也是=的效用函数。所以,只要=的效用函数存在,=的效用函数就有无限多个 我们把同一偏好关系的这无限多个效用函数同等看待,称它们是相互等价的效用函数。显然, 效用函数u与v等价的充分必要条件是:(vx,y∈X)u(x)≤l(y)分(v(x)≤v(y)。现在的问 题是,偏好关系的效用函数存在吗?对此,德布罗于1954年作出了回答 效用函数存在定理(G. Debreu.商品空间R的任何连通子集上的连续偏好关系都有连续 的效用函数。因此,理性消费者的偏好关系必然有连续的效用函数 此定理的证明比较复杂,德布罗1954年给出了证明,但后来发现证明中有不正确的地方, 于1964才给出了正确的证明。效用函数存在定理奠定了效用理论的基础,是经济学的基本定 理之一。由于这个定理,我们才可在偏好关系与效用函数之间随意地选择使用 、效用函数的性质 对应于消费者偏好的凸性和单调性,效用函数也具有相应的一系列性质。 定义.效用函数u叫做是: (1)弱拟凹的是指对任何x,y∈X及t∈(0,1),若(x)≥u(y),则(m+(1-1)y)≥l(y) (2)拟凹的,是指对任何x,y∈X及t∈(0,1)若(x)>l(y),则l(tx+(1-)y)>l(y); (3)严格拟凹的,是指对于x,y∈X,x≠y,及t∈(O,1) 若u(x)≥l(y),则u(x+(1-t)y)>u(y) (4)内部严格拟凹的,是指对于x,y∈tX,x≠y,及t∈(0,1), 若u(x)≥l(y),则u(x+(1-1)y)>u(y) (5)弱单调的,是指对任何x,y∈X,若x<<y,则(x)≤u(y);第三章 理性消费者 37 给出优次排序。本节从序数效用概念出发，对消费者在商品消费中获得的满足程度进行分析。 一、效用函数的概念 消费者对各种可行消费方案排出的优劣次序，很类似于实数之间的大小顺序。的确，序 数效用论者就是这么看待商品效用的。他们认为，按照实数之间的大小顺序可以标出各种消 费方案之间的优劣次序。但是，这种观点的正确性直到 1954 年才由德布罗给出了证明。 效用函数就是序数效用论者所说的那种表示消费方案优次排序的函数。具体来讲，设 是消费集合 X 的偏好关系，一个定义在 X 上的实值函数 u 叫做是 的效用函数，是指 u 满足 如下条件： (x, y X)((x y)  (u(x)  u(y))) 。当 u 是 的效用函数时，也称 u 是 的效用 表示，或称 是 u 诱导的偏好关系。 显然，效用函数的意义在于用实数顺序给出了各种消费方案的优次排序。可以看出，如 果 u 是偏好关系 的效用函数，那么任何严格递增函数  :R → R 与 u 的复合 v(x) =(u(x)) （对 于 x X ）也是 的效用函数。所以，只要 的效用函数存在， 的效用函数就有无限多个。 我们把同一偏好关系的这无限多个效用函数同等看待，称它们是相互等价的效用函数。显然， 效用函数 u 与 v 等价的充分必要条件是： (x, y X)(u(x)  u(y)  (v(x)  v(y))) 。现在的问 题是，偏好关系的效用函数存在吗？对此，德布罗于 1954 年作出了回答。 效用函数存在定理(G. Debreu). 商品空间  R 的任何连通子集上的连续偏好关系都有连续 的效用函数。因此，理性消费者的偏好关系必然有连续的效用函数。 此定理的证明比较复杂，德布罗 1954 年给出了证明，但后来发现证明中有不正确的地方， 于 1964 才给出了正确的证明。效用函数存在定理奠定了效用理论的基础，是经济学的基本定 理之一。由于这个定理，我们才可在偏好关系与效用函数之间随意地选择使用。 二、效用函数的性质 对应于消费者偏好的凸性和单调性，效用函数也具有相应的一系列性质。 定义. 效用函数 u 叫做是： (1) 弱拟凹的是指对任何 x, y X 及 t (0,1),若 u(x)  u(y), 则 u(tx + (1− t)y)  u(y) ； (2) 拟凹的，是指对任何 x, y X 及 t (0,1),若 u(x)  u(y), 则 u(tx + (1− t)y)  u(y) ； (3) 严格拟凹的,是指对于 x, y X , x  y ，及 t (0,1), 若 u(x)  u(y), 则 u(tx + (1− t)y)  u(y) ； (4) 内部严格拟凹的，是指对于 x, yint X , x  y ，及 t (0,1), 若 u(x)  u(y), 则 u(tx + (1− t)y)  u(y) ； (5) 弱单调的，是指对任何 x, y X ，若 x  y , 则 u(x)  u(y) ；