三章理性消费者 (6)单调的,是指对任何x,y∈X,若x≤y,则(x)≤u(y) (7)严格单调的,是指对任何x,y∈X,若x<y,则l(x)<l(y) (8)强单调的,是指对任何xy∈X,若x<y,则u(x)<u(y) 效用函数的性质与偏好关系的性质之间的对应关系由下面定理所表达。 定理.设u是偏好关系-的效用函数。 (1)≤是弱凸的当且仅当u是弱拟凹的: (2)≤是凸的当且仅当是拟凹的 (3)-是严格凸的当且仅当u是严格拟凹的 (4)-是内部严格凸的当且仅当u是内部严格拟凹的 (5)≤是单调的当且仅当u是单调的 (6)≤是严格单调的当且仅当a是严格单调的 (7)-是弱单调的当且仅当a是弱单调的 (8)=是强单调的当且仅当u是强单调的 )≤是连续的当且仅当u等价于一个连续效用函数 (10)≤是无满足的当且仅当u在X上无最大值 (11)=是局部无满足的当且仅当u在X中处处无极大值 (12)x是消费者在M(sX)中的满足消费当且仅当x是u在M上的最大值点 可微效用函数 边际分析法要使用效用函数的一阶和二阶偏导数,以往的做法是直接假定这些偏导数存 在。那么,效用函数确实具有这些偏导数吗?这就是可微效用函数的存在性问题。20世纪70 年代,经济学家对效用函数倾注了较多的注意力,尤其是德布罗于1972年对效用函数的可微 性问题作出了肯定的答复 设k为一正整数,Ck表示由一切具有直到k阶的连续偏导数的函数及映射所构成的类 Ck中的函数或映射就叫做Ck一函数或Ck一映射。设U和V是欧氏空间R”的两个开子集 从U到的一个映射f:U→V称为C一微分同胚,是指:(1)f是1-1映射,(2)∫是满射, (3)f是Ck一映射,(4)f的逆映射f:→U也是C*一映射第三章 理性消费者 38 (6) 单调的，是指对任何 x, y X ，若 x  y , 则 u(x)  u(y) ； (7) 严格单调的，是指对任何 x, y X ，若 x  y , 则 u(x)  u(y) ； (8) 强单调的，是指对任何 x, y X ，若 x  y , 则 u(x)  u(y)。 效用函数的性质与偏好关系的性质之间的对应关系由下面定理所表达。 定理. 设 u 是偏好关系 的效用函数。 (1) 是弱凸的当且仅当 u 是弱拟凹的； (2) 是凸的当且仅当 u 是拟凹的； (3) 是严格凸的当且仅当 u 是严格拟凹的； (4) 是内部严格凸的当且仅当 u 是内部严格拟凹的； (5) 是单调的当且仅当 u 是单调的； (6) 是严格单调的当且仅当 u 是严格单调的； (7) 是弱单调的当且仅当 u 是弱单调的； (8) 是强单调的当且仅当 u 是强单调的； (9) 是连续的当且仅当 u 等价于一个连续效用函数； (10) 是无满足的当且仅当 u 在 X 上无最大值； (11) 是局部无满足的当且仅当 u 在 X 中处处无极大值； (12) x 是消费者在 M ( X ) 中的满足消费当且仅当 x 是 u 在 M 上的最大值点。 三、可微效用函数 边际分析法要使用效用函数的一阶和二阶偏导数，以往的做法是直接假定这些偏导数存 在。那么，效用函数确实具有这些偏导数吗？这就是可微效用函数的存在性问题。20 世纪 70 年代，经济学家对效用函数倾注了较多的注意力，尤其是德布罗于 1972 年对效用函数的可微 性问题作出了肯定的答复。 设 k 为一正整数， k C 表示由一切具有直到 k 阶的连续偏导数的函数及映射所构成的类。 k C 中的函数或映射就叫做 k C —函数或 k C —映射。设 U 和 V 是欧氏空间 n R 的两个开子集。 从 U 到 V 的一个映射 f :U →V 称为 k C —微分同胚，是指：(1) f 是 1—1 映射，(2) f 是满射， (3) f 是 k C —映射，(4) f 的逆映射 f V →U − : 1 也是 k C —映射