三章理性消费者 R"的子集M叫做是一张Ck一超曲面,是指对任何x∈M,存在x的开邻域U,存在R 的某开子集V,存在从U到V的一个C一微分同胚f,以及存在R中的一张超平面H,使 得M∩UsH。即在微分同胚的意义下,超曲面M局部具有了超平面H的结构 对于消费集合X的偏好关系来说,无差异关系八是X2=XxX的子集,因而是R2 的子集。如果灬是R2中的一张Ck一超曲面,则称≤是Ck一偏好关系 可微效用函数存在定理(G. Debreu).设消费集合X的内部ntX是商品空间R的连通开 子集,是X上单调、连续的偏好关系。一具有无奇点的C2-效用函数的充分必要条件是是 C2-偏好关系。 本定理的证明略去。定理中所说的奇点,含义是指该点处函数的各个一阶偏导数都为零。 有了这个定理以后,大多数情况下我们都可去假定效用函数的二阶连续可微性,而不必为这 种函数的存在性而担心。鉴于此,经济分析中常常使用如下关于效用函数的可微性假设。 假设HU(可微性假设).消费者的效用函数在消费集合内部二阶连续可微,并且在各点处 的各个一阶偏导数不会同时全为零 四、效用梯度与偏好梯度 初级微观经济学已经展示了无差异分析的重要作用。当考虑两种商品之间的替代问题时, 无差异曲线的切线斜率就是两种商品之间的边际替代率。然而初级分析只是限于一种商品替 代另一种商品的情况,没有考虑一种替代多种商品,或者多种商品替代一种商品的情况。为 了把商品之间的相互替代问题考虑得更加全面,需要使用效用梯度和偏好梯度这两个概念。 设消费者的效用函数为u:X→R,并且服从假设ⅢU。消费向量x∈ntX处的效用梯度 是指向量v(x)=(1(x),u2(x),…,l1(x),它是通过点x的无差异曲线[x]的法方向。显然, 效用梯度的大小同所选择的具体效用函数u有关。 效用梯度指向效用增大最快的方向,即指向效用水平提高最快的方向。这是因为从全微 分公式du=u1(x)dx1+n2(x)dx2+…+u(x)dxt=Vl(x)·dx(这里·表示向量内积)可知, 只有当增加的消费向量dx与效用梯度vx)的夹角保持锐角时,效用的增加量d才大于零 当dx的(长度不变)方向变化到与Vu(x)同方向时,效用增加量d达到最大。因此,效用梯 度V(x)指向效用增大最快的方向,即在各个方向上的消费等量增加中,效用梯度所指的方 向效用增加得最大。这就解释了效用梯度的经济含义。 然而,如上定义的效用梯度是依据具体的效用函数u来给出的,这就存在着一个问题: 效用梯度的方向是否与效用函数的选择有关?如果答案是肯定的,那么引进效用梯度概念的 意义就不大了。幸运的是,下面的定理保证了效用梯度方向与具体的效用函数选择无关 定理.设u和ν是两个等价的效用函数,它们都在X内部一阶连续可导,并且在X内部 每点处的各个一阶偏导数不会同时都为零。用和vH]分别表示与v的函数值的全体 则存在映射φ:￥→ν[Ⅺ满足如下两个条件 (1)对任何的x∈X,(x)=(l(x) (2)对任何的x∈mntX,都有u(x)∈int],o(r)在r=(x)处可微,q(u(x)>0,并且第三章 理性消费者 39 n R 的子集 M 叫做是一张 k C —超曲面，是指对任何 xM ，存在 x 的开邻域 U ，存在 n R 的某开子集 V ，存在从 U 到 V 的一个 k C —微分同胚 f , 以及存在 n R 中的一张超平面 H ，使 得 f[M U] H V 。即在微分同胚的意义下，超曲面 M 局部具有了超平面 H 的结构。 对于消费集合 X 的偏好关系 来说，无差异关系 是 X = X  X 2 的子集，因而是 2 R 的子集。如果 是 2 R 中的一张 k C —超曲面，则称 是 k C —偏好关系。 可微效用函数存在定理(G. Debreu). 设消费集合 X 的内部 int X 是商品空间  R 的连通开 子集， 是 X 上单调、连续的偏好关系。 具有无奇点的 2 C —效用函数的充分必要条件是 是 2 C —偏好关系。 本定理的证明略去。定理中所说的奇点，含义是指该点处函数的各个一阶偏导数都为零。 有了这个定理以后, 大多数情况下我们都可去假定效用函数的二阶连续可微性，而不必为这 种函数的存在性而担心。鉴于此，经济分析中常常使用如下关于效用函数的可微性假设。 假设 HU(可微性假设). 消费者的效用函数在消费集合内部二阶连续可微，并且在各点处 的各个一阶偏导数不会同时全为零。 四、效用梯度与偏好梯度 初级微观经济学已经展示了无差异分析的重要作用。当考虑两种商品之间的替代问题时， 无差异曲线的切线斜率就是两种商品之间的边际替代率。然而初级分析只是限于一种商品替 代另一种商品的情况，没有考虑一种替代多种商品，或者多种商品替代一种商品的情况。为 了把商品之间的相互替代问题考虑得更加全面，需要使用效用梯度和偏好梯度这两个概念。 设消费者的效用函数为 u :X → R ，并且服从假设 HU。消费向量 xint X 处的效用梯度 是指向量 ( ) ( ( ), ( ), , ( )) 1 2 u x u x u x u x    =    ，它是通过点 x 的无差异曲线 [x] 的法方向。显然， 效用梯度的大小同所选择的具体效用函数 u 有关。 效用梯度指向效用增大最快的方向，即指向效用水平提高最快的方向。这是因为从全微 分公式 du = u (x)d x + u  (x)d x + + u  (x)d x = u(x) • dx 1 1 2 2    (这里 • 表示向量内积)可知， 只有当增加的消费向量 dx 与效用梯度 u(x) 的夹角保持锐角时，效用的增加量 du 才大于零； 当 dx 的(长度不变)方向变化到与 u(x) 同方向时，效用增加量 du 达到最大。因此，效用梯 度 u(x) 指向效用增大最快的方向，即在各个方向上的消费等量增加中，效用梯度所指的方 向效用增加得最大。这就解释了效用梯度的经济含义。 然而，如上定义的效用梯度是依据具体的效用函数 u 来给出的，这就存在着一个问题： 效用梯度的方向是否与效用函数的选择有关？如果答案是肯定的，那么引进效用梯度概念的 意义就不大了。幸运的是，下面的定理保证了效用梯度方向与具体的效用函数选择无关。 定理. 设 u 和 v 是两个等价的效用函数，它们都在 X 内部一阶连续可导，并且在 X 内部 每点处的各个一阶偏导数不会同时都为零。用 u[X] 和 v[X ] 分别表示 u 与 v 的函数值的全体。 则存在映射  :u[X]→v[X] 满足如下两个条件： (1) 对任何的 x X ， v(x) =(u(x)) ； (2) 对任何的 xint X ，都有 u(x)int u[X]，(r) 在 r = u(x) 处可微， (u(x))  0 ，并且