三章理性消费者 vv(x)=p((x)V(x),从而 Vu(x) V(x) 由此定理,我们便可引入与效用函数选择无关的偏好梯度概念。消费方案x处的偏好梯 度是指单位向量v(x) v(x)=(V1(x),V2(x)…,V(x)= Vu(xll Vu(x) 其中u是消费者的一个在消费集合内部一阶连续可微、在消费集合内部每点处的各个一阶偏 到数不会同时为零的效用函数。显然,偏好梯度指向效用增大最快的方向,与效用函数无关, 但与消费者偏好有关,由偏好关系决定 利用偏好梯度V(x),商品之间的替代关系可表达为:一些商品的消费量减少(增加)时, 为了保持效用水平不变,其余商品的消费量的变化量必须服从如下关系: V(x)dx,+V2(x)ax2+.+V,(r)dx=0 其中dx,表示第i种商品的消费量的变化量。这就是说,为了保持效用水平不变,商品消费量 的调整向量dx=(dx1,dx2…,dx)必须保持与偏好梯度v(x)正交。 定理的证明.u与v等价,即u与v是同一偏好的两个效用函数定义q:l们→v如 下:(r∈X])(r)=v(u-2(r))。则g是严格递增函数,并且明显满足条件(1)。以下证明 q满足条件(2)。为此,设x∈ntX任意给定,并记r=l(x)。 从x∈mtx可知,存在正数E使得开球B(x)={∈R(:-x<;sX。既然在x内 部每点处的各个一阶偏导数不同时全为零,在x处必有某个k使得(x)≠0 令={∈B(x,B):1=x,(≠k,=1,2,…,O},则x不是a在/中的极值点,从而存在r和 r使得r<r<r"且[r’,r"s址灯]。这说明r=l(x)∈ntu灯]。 现在,对于(r,r")中任一趋向于r的序列{rn},从uk(x)≠0及u的连续性可知,必然存 在/中的一个序列{x”}使得rn=l(x")(n=1,2,…)且x"→x(n→>∞)。于是 qp(n)-9(r) v(x")-w(x) lin "(x)+o(x-x)v*(x) n-200 n-r n-0u(x")-u(x)1-00ui(x)+o(xk-x)uk(x) 这说明在r处是可微的。注意,r∈]是任意给定的,从而φ是可微函数 既然v(x)=o(u(x),应用复合函数求导法则可得v(x)=q(r)u2(x)(i=12…O),这说 明vvay)=q((x)Vux)。注意,V(x)≠0及Vv(x)≠0,因此q()≠0。再注意,q是递增 函数,于是p'(r)>0 最后,从Vv(x=q((x)Vu(x)可知, v(x)=1 Vv(x)。 vu(x)川 第四节效用最大化 作为理性人,消费者不但要服从客观条件的限制,而且要服从经济条件的限制,他在这 些条件的限制下选择自己最满意的消费方案,在条件许可的范围内追求效用最大化。本节就第三章 理性消费者 40 v(x) =(u(x))u(x) ，从而 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 v x v x u x u x    =  。 由此定理，我们便可引入与效用函数选择无关的偏好梯度概念。消费方案 x 处的偏好梯 度是指单位向量 (x) : ( ) ( ) 1 ( ) ( ( ), ( ), , ( )) 1 2 u x u x x x x x    =     = 其中 u 是消费者的一个在消费集合内部一阶连续可微、在消费集合内部每点处的各个一阶偏 到数不会同时为零的效用函数。显然，偏好梯度指向效用增大最快的方向，与效用函数无关， 但与消费者偏好有关，由偏好关系决定。 利用偏好梯度 (x) ，商品之间的替代关系可表达为：一些商品的消费量减少(增加)时， 为了保持效用水平不变，其余商品的消费量的变化量必须服从如下关系： 1 (x)dx1 + 2 (x)dx2 ++  (x)dx = 0 其中 i d x 表示第 i 种商品的消费量的变化量。这就是说，为了保持效用水平不变，商品消费量 的调整向量 ( , , , ) 1 2   d x = d x d x d x 必须保持与偏好梯度 (x) 正交。 定理的证明. u 与 v 等价，即 u 与 v 是同一偏好的两个效用函数。定义  :u[X]→v [X] 如 下： ( [ ])( ( ) ( ( ))) 1 r u X r v u r −    = 。则  是严格递增函数，并且明显满足条件(1)。以下证明  满足条件(2)。为此，设 xint X 任意给定，并记 r = u(x) 。 从 xint X 可知，存在正数  使得开球 B(x, ) ={z R : z − x  } X  。既然 u 在 X 内 部每点处的各个一阶偏导数不同时全为零，在 x 处必有某个 k 使得 uk  (x)  0 。 令 I ={zB(x, ):z = x (i  k; i =1,2,  , )} i i  ，则 x 不是 u 在 I 中的极值点，从而存在 r  和 r  使得 r   r  r  且 [r  , r ]  u[I]  u[X ] 。这说明 r = u(x)int u[X]。 现在，对于 (r  ,r ) 中任一趋向于 r 的序列 { }n r ，从 uk  (x)  0 及 u 的连续性可知，必然存 在 I 中的一个序列 { } n x 使得 r = u(x ) (n =1,2, ) n n 且 x → x (n →) n 。于是 ( ) ( ) ( ) o( ) ( ) o( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim lim u x v x u x x x v x x x u x u x v x v x r r r r k k n k k n k k n n n n n n n   =  + −  + − = − − = − − → → →   这说明  在 r 处是可微的。注意， ru[X] 是任意给定的，从而  是可微函数。 既然 v(x) =(u(x)) ，应用复合函数求导法则可得 v (x) = (r)u (x) (i =1,2,  , ) i  i ，这说 明 v(x) =(u(x))u(x) 。注意， u(x)  0 及 v(x)  0 ，因此 (r)  0 。再注意，  是递增 函数，于是 (r)  0。 最后，从 v(x) =(u(x))u(x) 可知， ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 v x v x u x u x    =  。 第四节 效用最大化 作为理性人，消费者不但要服从客观条件的限制，而且要服从经济条件的限制，他在这 些条件的限制下选择自己最满意的消费方案，在条件许可的范围内追求效用最大化。本节就