3.随机过程的统计特性(数字特征) (1)数学期望:随机过程5(n)的数学期望定义为 a(1)=E{()}=xf(x,)x (2-15) 它本该在n时刻求得,但n是任意的,所以它是时间的函数。 (2)方差:随机过程5(1)的方差定义为: a2(0)=D5(O)=E{5()-E}=[[x-o)f(xn)t(216) Cxf(x, drx-2xa(0/,(x, )ax+[a(,5(x,c)dx x2(x1)d-20()x(x)d+f(x (2-17) f(, tdx-[a(o) (3)协方差函数和相关函数: 协方差函数定义为 B(t1,t2)=E{[(1)-a(1(12)-a(t2) [x-ax2-a(2)(x1x21d (2-18) 相关函数定义为 R(1,12)=EL5(1)5(t2) (2-19) xx2f2(u,x2; 4,, 42 )dx,dx 从式(2-18)和式(2-19)可以得到B(n,2)和R(t1,t2)之间的关系 B(1,2)=R(t1,t2)-E(1)E(t2) (2-20) 由于B(1,t)和R(,t)是衡量同一随机过程的相关程度的,所以,它们又常分 别称为自协方差函数和自相关函数 若对于两个或多个随机过程,可以有互协方差函数和互相关函数描述。设5(1)和n(0 表示两个随机过程,则互协方差函数和互相关函数分别定义为 Bn(1,12)=E{5(1)-a(1川[n(t2)-an1(12)} (2-21) Rn(t1,12)=E[(1)7(2 (2-22) 可以看出,随机过程的统计特性原则上都与时间t有关,是时间的函数。而对于相关 函数R(1,),若取h=n1+r,即r是t和n之间的时间间隔,则R(n1,t)可表示为R (t1,n1+x),而n是任意的,R(1,n+r)可以表示为R(t,tr),这说明,相关函数 是起始时刻t和时间间隔r的函数1－5 3．随机过程的统计特性（数字特征） （1）数学期望：随机过程ξ(t)的数学期望定义为   − a(t) = E{ (t)} = xf (x,t)dx  1 （2-15） 它本该在 t1 时刻求得，但 t1 是任意的，所以它是时间的函数。 （2）方差：随机过程ξ(t)的方差定义为：   − (t) = D{ (t)} = E{{ (t) − E[ (t)]} } = [x − a(t)] f (x,t)dx 1 2 2 2     （2-16） 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 ( , ) [ ( )] ( , ) 2 ( ) ( , ) [ ( )] ( , ) ( , ) 2 ( ) ( , ) [ ( )] ( , ) x f x t dx a t x f x t dx a t x f x t dx a t f x t dx x f x t dx x a t f x t dx a t f x t dx = − = − + = − +         −  −  −  −  −  −  − （2-17） （3）协方差函数和相关函数： 协方差函数定义为    −  − = − − = − − 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 [ ( )][ ( )] ( , ; , ) ( , ) {[ ( ) ( )][ ( ) ( )]} x a t x a t f x x t t dx dx B t t E  t a t  t a t （2-18） 相关函数定义为    −  − = = 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( , ; , ) ( , ) [ ( ) ( )] x x f x x t t dx dx R t t E  t  t （2-19） 从式（2-18）和式（2-19）可以得到 B（t1，t2）和 R（t1，t2）之间的关系： ( , ) ( , ) [ ( )] [ ( )] 1 2 1 2 1 2 B t t = R t t − E  t  E  t （2-20） 由于 B（t1，t2）和 R（t1，t2）是衡量同一随机过程的相关程度的，所以，它们又常分 别称为自协方差函数和自相关函数。 若对于两个或多个随机过程，可以有互协方差函数和互相关函数描述。设ξ(t)和η(t) 表示两个随机过程，则互协方差函数和互相关函数分别定义为 ( , ) {[ ( ) ( )][ ( ) ( )]} 1 2 1 1 2 2 B t t E t a t t a t  =  −   −  （2-21） ( , ) [ ( ) ( )] 1 2 1 2 R t t E  t  t  = （2-22） 可以看出，随机过程的统计特性原则上都与时间 t 有关，是时间的函数。而对于相关 函数 R（t1，t2），若取 t2= t1+τ，即τ是 t2和 t1 之间的时间间隔，则 R（t1，t2）可表示为 R （t1，t1+τ），而 t1 是任意的，R（t1，t1+τ）可以表示为 R（t，t+τ），这说明，相关函数 是起始时刻 t 和时间间隔τ的函数