第2章随机信号分析 21引言 实际通信系统中由信源发出的信息是随机的,或者说是不可预知的,因而携带信息的 信号也是随机的,这种具有随机性的信号,称为随机信号。 携带了信息的信号在传输过程中将受到噪声的污染,而噪声也是随机的,称为随机噪 声 随机信号和随机噪声不可能用一个或几个时间函数准确地描述,但它们都遵循一定的 统计规律,我们可以用概率统计的方法进行研究 虽然随机信号和随机噪声都具有不可预测的波形特点,但两者的意义完全不同。随机 信号的不可预测性是它携带信息的能力,而噪声的不可预测性则是有害的,它将使有用信 号受到污染。但随机信号和随机噪声的统计特性有许多差异,这样我们可以利用这种差异 在某种程度上把信号从噪声中提取出来,并且尽量从信号中恢复所携带的信息 随机信号和随杋噪声的数学模型是随机过程,本章将以此作为理论基础,对随机信号 和噪声的特性进行描述,讨论它们通过线性系统的基本分析方法 22随机过程的一般描述 、随机变量及其统计特性 1.随机变量的概念 某随机实验可能有许多个结果,我们可以引入一变量X,它将随机地取某些数值,用 这些数值来表示各个可能的结果,这一变量X就称之为随机变量。当随机变量X的取值个 数是有限的或可数无穷个时,则称它为高散随机变量:否则,就称它为连续随机变量,即 可能的取值充满某一有限或无限区间。 如,掷一硬币出现正面用数值1表示,出现反面用数值0表示,则用￥={0,1}来表 示掷硬币的结果,那么X为1还是为0在具体实验之前是不能确定的,所以称之为随机变 量:又因为它的取值只能为1和0两个数值,是可数的,所以是离散随机变量 又如,正弦振荡器开机起振的初始相位值,可能是0-360度的任意值,用=[0,360 表示对其测量的结果,则X称之为连续随机变量 如果一个随机实验需要用多个随机变量(X1,X2,…,Xn)表示,则多个随机变量(X1 Y2,…,M)的总体称之为n维随机变量。 2.随机变量的概率分布函数和概率密度函数 用P(X≤x)表示X的取值不大于x的概率,则定义函数 F(x)=P(X≤x) (2-1) 为随机变量ⅹ的概率分布函数。这里,X可以是离散随机变量,也可以是连续随机变量
1－1 第 2 章 随机信号分析 2.1 引 言 实际通信系统中由信源发出的信息是随机的，或者说是不可预知的，因而携带信息的 信号也是随机的，这种具有随机性的信号，称为随机信号。 携带了信息的信号在传输过程中将受到噪声的污染，而噪声也是随机的，称为随机噪 声。 随机信号和随机噪声不可能用一个或几个时间函数准确地描述，但它们都遵循一定的 统计规律，我们可以用概率统计的方法进行研究 。 虽然随机信号和随机噪声都具有不可预测的波形特点，但两者的意义完全不同。随机 信号的不可预测性是它携带信息的能力，而噪声的不可预测性则是有害的，它将使有用信 号受到污染。但随机信号和随机噪声的统计特性有许多差异，这样我们可以利用这种差异 在某种程度上把信号从噪声中提取出来，并且尽量从信号中恢复所携带的信息。 随机信号和随机噪声的数学模型是随机过程，本章将以此作为理论基础，对随机信号 和噪声的特性进行描述，讨论它们通过线性系统的基本分析方法。 2.2 随机过程的一般描述 一、随机变量及其统计特性 1．随机变量的概念 某随机实验可能有许多个结果，我们可以引入一变量 X，它将随机地取某些数值，用 这些数值来表示各个可能的结果，这一变量 X 就称之为随机变量。当随机变量 X 的取值个 数是有限的或可数无穷个时，则称它为离散随机变量；否则，就称它为连续随机变量，即 可能的取值充满某一有限或无限区间。 如，掷一硬币出现正面用数值 1 表示，出现反面用数值 0 表示，则用 X={0，1}来表 示掷硬币的结果，那么 X 为 1 还是为 0 在具体实验之前是不能确定的，所以称之为随机变 量；又因为它的取值只能为 1 和 0 两个数值，是可数的，所以是离散随机变量。 又如，正弦振荡器开机起振的初始相位值，可能是 0~360 度的任意值，用 X=[0，360] 表示对其测量的结果，则 X 称之为连续随机变量。 如果一个随机实验需要用多个随机变量（X1，X2，…，Xn）表示，则多个随机变量（X1， X2，…，Xn）的总体称之为 n 维随机变量。 2．随机变量的概率分布函数和概率密度函数 用 P(X≤x)表示 X 的取值不大于 x 的概率，则定义函数 F(x) = P(X x) （2-1） 为随机变量 X 的概率分布函数。这里，X 可以是离散随机变量，也可以是连续随机变量
若X是连续随机变量,对于一非负函数∫(x)有下式成立 则∫(x)称之为X的概率密度函数(简称概率密度)。也可表示为 f(r)=d F(x) (2-3) 对二维随机变量(X,Y),我们把两个事件(X≤x)和(Y≤y)同时出现的概率定义 为二维随机变量的二维分布函数 F(x,y)=P(X≤x,Y≤y) (2-4) 同样, f(x,y)s、 aray(r,y) (2-5) 称之为二维概率密度。 3.随机变量的数字特征 若要完整地描述一个随机变量的统计特性,就必须求得它的分布函数或概率密度函 数,而在实际问题中,往往并不关心随机变量的概率分布,而只想知道它的特征一—数字 特征。我们经常用到的数字特征有 (1)数学期望:反映了随机变量取值的集中位置(均值) 设P(x)(=1,2,…K)是离散随机变量X的取值x的概率,则其数学期望为 E{H}=∑xP(x) 对于连续随机变量X,设(x)为其概率密度函数,则则其数学期望为 E(X}=[(x) (2-7) (2)方差:反映了随机变量的集中程度 方差定义为 D(X}=E(x-m)}=[(x-m)3f (2-8) 式中m=E{}。而方差的平方根σ又称为均方差或标准偏差。 (3)两个随机变量的相关系数:反映了它们之间的线性相关程度 对两个随机变量X,Y定义 X )=[(x-mX-m)(x,yb(29)
1－2 若 X 是连续随机变量，对于一非负函数 f（x）有下式成立 F x f u du x − ( ) = ( ) （2-2） 则 f（x）称之为 X 的概率密度函数（简称概率密度）。也可表示为 ( ) F(x) dx d f x = （2-3） 对二维随机变量（X，Y），我们把两个事件（X≤x）和（Y≤y）同时出现的概率定义 为二维随机变量的二维分布函数 F(x, y) = P(X x,Y y) （2-4） 同样， ( , ) ( , ) 2 F x y x y f x y = （2-5） 称之为二维概率密度。 3．随机变量的数字特征 若要完整地描述一个随机变量的统计特性，就必须求得它的分布函数或概率密度函 数，而在实际问题中，往往并不关心随机变量的概率分布，而只想知道它的特征——数字 特征。我们经常用到的数字特征有 （1）数学期望：反映了随机变量取值的集中位置（均值） 设 P(xi)(i=1,2,…,K)是离散随机变量 X 的取值 xi 的概率，则其数学期望为 = = K i i i E X x P x 1 { } ( ) （2-6） 对于连续随机变量 X，设 f(x)为其概率密度函数，则则其数学期望为 − E{X} = xf(x)dx （2-7） （2）方差：反映了随机变量的集中程度； 方差定义为： − = D{X} = E{(X − m) } = (x − m) f (x)dx 2 2 2 （2-8） 式中 m=E{X}。而方差的平方根 又称为均方差或标准偏差。 （3）两个随机变量的相关系数：反映了它们之间的线性相关程度。 对两个随机变量 X，Y 定义 − − E X − m Y − m = x − m Y − m f x y dxdy X Y X Y {( )( )} ( )( ) ( , ) （2-9）
为X,Y的相关矩或协方差。而X,Y的归一化相关矩,称之为X,Y的相关系数,定义为 EiCX-mxxr-my )3 (2-10) ECX-m ))E((Y-my)2)oror [例2-1]试求下列均匀概率密度函数的数学期望和方差 a≤X≤a f(x)={2a 其它x 解:Ex)=(x=,==0 D(x)(x-m)/()=2 、随机过程及其统计特性 随机过程的概念 定义:设随机实验E的可能结果为5(1),实验的样本空间S为{x(1)x2()…,x(1)},i 为正整数,x(1)为第i个样本函数(又称之为实现),每次实验之后,§(1)取空间S中的某 一样本函数,于是称此5(1)为随机函数。当t代表时间量时,则称此5(1)为随机过程 如有n台性能一样的通信机,工作条件也一样,用n部记录仪记录各部通信机的输出 噪声波形(这也可以理解为对同一台通信机作了n次观测),得到的结果是不相同的,如 图2-1所示。因为通信机的输出噪声电压随时间的变化是不可预知的,所以,在同一时刻 这n台通信机的记录结果,可以由随机变量X(1)进行表示,而在不同的时刻得到的观测 结果的集合5()={Ⅺn1),Xb),…,Ⅺ(),则构成了通信机输出噪声的随机过程。可以这 样理解,随机过程是依赖于时间参数的随机变量的全体,它是时间的函数,而在每一个时 间点上又可以由一个随机变量表述
1－3 为 X，Y 的相关矩或协方差。而 X，Y 的归一化相关矩，称之为 X，Y 的相关系数，定义为 X Y X Y X Y u E X m E Y m E X m Y m 11 2 2 {( ) } {( ) } {( )( )} = − − − − = （2-10） [例 2-1]试求下列均匀概率密度函数的数学期望和方差： − = x a x a f x a 0 其它 2 1 ( ) 2 6 3 ( ) ( ) ( ) 0 2 4 ( ) ( ) 2 3 2 2 2 a a x dx a x D x x m f x dx a x dx a x E x x f x dx a a a a a a a a = − = = = = = = = − − − − − − 解： 二、随机过程及其统计特性 1．随机过程的概念 定义：设随机实验 E 的可能结果为ξ(t)，实验的样本空间 S 为{ x1(t), x2(t),…, xi(t)}，i 为正整数，xi(t)为第 i 个样本函数（又称之为实现），每次实验之后，ξ(t)取空间 S 中的某 一样本函数，于是称此ξ(t)为随机函数。当 t 代表时间量时，则称此ξ(t)为随机过程。 如有 n 台性能一样的通信机，工作条件也一样，用 n 部记录仪记录各部通信机的输出 噪声波形（这也可以理解为对同一台通信机作了 n 次观测），得到的结果是不相同的，如 图 2-1 所示。因为通信机的输出噪声电压随时间的变化是不可预知的，所以，在同一时刻 ti 这 n 台通信机的记录结果，可以由随机变量 X(ti)进行表示，而在不同的时刻得到的观测 结果的集合ξ(t)={ X(t1)，X(t2)，…，X(ti)，则构成了通信机输出噪声的随机过程。可以这 样理解，随机过程是依赖于时间参数的随机变量的全体，它是时间的函数，而在每一个时 间点上又可以由一个随机变量表述
x x(1) x(1) 12 图2-1通信机的输出噪声波形 2.随机过程的概率分布函数和概率密度函数 设5()为一随机过程,则5(1)为一随机变量,此随机变量的分布函数为 称之为随机过程5(1)的一维分布函数。如果 F1(x1,t1) f(x1,t1) (2-12) 存在,则f(x,1)称为随机过程5(的一维概率密度函数 般用一维分布函数或一维概率密度函数去描述随机过程的完整统计特性是极不充 分的,通常需要在足够多的时间点上考虑其分布函数或概率密度函数。5()的n维分布函 数定义为 F(x1,x2,…,xn;l1,l2,…,tn)=P{(1)≤x125(12)≤x2,…,5(tn)≤xn}(2-13) 如果 f(x1,x2,…xn;1,t2,…,Ln)( 存在,则∫(x1x2…,xn1,2…,n)称之为随机过程5(1)的n维概率密度函数
1－4 x1(t) t x2(t) t xn(t) t t1 t2 图 2-1 通信机的输出噪声波形 2．随机过程的概率分布函数和概率密度函数 设ξ(t)为一随机过程，则ξ(t1)为一随机变量，此随机变量的分布函数为 ( , ) { ( ) } 1 1 1 1 1 F x t = P t x （2-11） 称之为随机过程ξ(t)的一维分布函数。如果 ( , ) ( , ) 1 1 1 1 1 1 1 f x t x F x t = （2-12） 存在，则 ( , ) 1 1 1 f x t 称为随机过程ξ(t)的一维概率密度函数。 一般用一维分布函数或一维概率密度函数去描述随机过程的完整统计特性是极不充 分的，通常需要在足够多的时间点上考虑其分布函数或概率密度函数。ξ(t)的 n 维分布函 数定义为 ( , , , ; , , , ) { ( ) , ( ) , , ( ) } 1 1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n F x x x t t t = P t x t x t x （2-13） 如果 ( , , , ; , , , ) ( , , , ; , , , ) 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 n n n n n f x x x t t t x x x F x x x t t t = （2-14） 存在，则 ( , , , ; , , , ) 1 1 2 n 1 2 n f x x x t t t 称之为随机过程ξ(t)的 n 维概率密度函数
3.随机过程的统计特性(数字特征) (1)数学期望:随机过程5(n)的数学期望定义为 a(1)=E{()}=xf(x,)x (2-15) 它本该在n时刻求得,但n是任意的,所以它是时间的函数。 (2)方差:随机过程5(1)的方差定义为: a2(0)=D5(O)=E{5()-E}=[[x-o)f(xn)t(216) Cxf(x, drx-2xa(0/,(x, )ax+[a(,5(x,c)dx x2(x1)d-20()x(x)d+f(x (2-17) f(, tdx-[a(o) (3)协方差函数和相关函数: 协方差函数定义为 B(t1,t2)=E{[(1)-a(1(12)-a(t2) [x-ax2-a(2)(x1x21d (2-18) 相关函数定义为 R(1,12)=EL5(1)5(t2) (2-19) xx2f2(u,x2; 4,, 42 )dx,dx 从式(2-18)和式(2-19)可以得到B(n,2)和R(t1,t2)之间的关系 B(1,2)=R(t1,t2)-E(1)E(t2) (2-20) 由于B(1,t)和R(,t)是衡量同一随机过程的相关程度的,所以,它们又常分 别称为自协方差函数和自相关函数 若对于两个或多个随机过程,可以有互协方差函数和互相关函数描述。设5(1)和n(0 表示两个随机过程,则互协方差函数和互相关函数分别定义为 Bn(1,12)=E{5(1)-a(1川[n(t2)-an1(12)} (2-21) Rn(t1,12)=E[(1)7(2 (2-22) 可以看出,随机过程的统计特性原则上都与时间t有关,是时间的函数。而对于相关 函数R(1,),若取h=n1+r,即r是t和n之间的时间间隔,则R(n1,t)可表示为R (t1,n1+x),而n是任意的,R(1,n+r)可以表示为R(t,tr),这说明,相关函数 是起始时刻t和时间间隔r的函数
1－5 3．随机过程的统计特性（数字特征） （1）数学期望：随机过程ξ(t)的数学期望定义为 − a(t) = E{ (t)} = xf (x,t)dx 1 （2-15） 它本该在 t1 时刻求得，但 t1 是任意的，所以它是时间的函数。 （2）方差：随机过程ξ(t)的方差定义为： − (t) = D{ (t)} = E{{ (t) − E[ (t)]} } = [x − a(t)] f (x,t)dx 1 2 2 2 （2-16） 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 ( , ) [ ( )] ( , ) 2 ( ) ( , ) [ ( )] ( , ) ( , ) 2 ( ) ( , ) [ ( )] ( , ) x f x t dx a t x f x t dx a t x f x t dx a t f x t dx x f x t dx x a t f x t dx a t f x t dx = − = − + = − + − − − − − − − （2-17） （3）协方差函数和相关函数： 协方差函数定义为 − − = − − = − − 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 [ ( )][ ( )] ( , ; , ) ( , ) {[ ( ) ( )][ ( ) ( )]} x a t x a t f x x t t dx dx B t t E t a t t a t （2-18） 相关函数定义为 − − = = 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( , ; , ) ( , ) [ ( ) ( )] x x f x x t t dx dx R t t E t t （2-19） 从式（2-18）和式（2-19）可以得到 B（t1，t2）和 R（t1，t2）之间的关系： ( , ) ( , ) [ ( )] [ ( )] 1 2 1 2 1 2 B t t = R t t − E t E t （2-20） 由于 B（t1，t2）和 R（t1，t2）是衡量同一随机过程的相关程度的，所以，它们又常分 别称为自协方差函数和自相关函数。 若对于两个或多个随机过程，可以有互协方差函数和互相关函数描述。设ξ(t)和η(t) 表示两个随机过程，则互协方差函数和互相关函数分别定义为 ( , ) {[ ( ) ( )][ ( ) ( )]} 1 2 1 1 2 2 B t t E t a t t a t = − − （2-21） ( , ) [ ( ) ( )] 1 2 1 2 R t t E t t = （2-22） 可以看出，随机过程的统计特性原则上都与时间 t 有关，是时间的函数。而对于相关 函数 R（t1，t2），若取 t2= t1+τ，即τ是 t2和 t1 之间的时间间隔，则 R（t1，t2）可表示为 R （t1，t1+τ），而 t1 是任意的，R（t1，t1+τ）可以表示为 R（t，t+τ），这说明，相关函数 是起始时刻 t 和时间间隔τ的函数
23平稳随机过程 在通信系统中应用最广泛的随机过程是平稳随机过程,因为在通信系统中所遇到的信 号和噪声,大多数可视为平稳随机过程。因此,研究平稳随机过程有很大的实际意义, 、平稳随机过程的概念 平稳随机过程是指它的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。即:对于 任意的正整数n和任意实数t,h,…,,r,随机过程5(o的n维概率密度函数满足 ∫n(x1,x2…,xn;l1,12;…,tn)=fn(x1,x2…,xn1+,l2+r,…Ln+r)(2-23) 则称ξ()为平稳随机过程(严平稳随机过程或狭义平稳随机过程)。由此可见,平稳随机 过程的统计特性将不随时间的推移而不同。因为f1(x,1)=f(x,1+r)=f1(x),所以它 的一维分布与1无关:又,∫2(x,x2;1,2)=f2(x1,x21+x,12+z)=f2(x1,x2r),所 以它的二维分布只与时间间隔r有关 平稳随机过程的数学期望为 a(t)=E(0)=xf(x, t)dx= xf(x)dx=a (224) 平稳随机过程的方差为 a2(0)=D5()-=【x-ao)3(x)=[[x-af(xk=o2(25) 由此可见平稳随机过程的数学期望和方差均与时间无关:它的自相关函数只与时间间隔有 关,即 R(4+=E5(1(+)=[xx(x1x:)d=R()(2) 满足式(2-24)~(2-26)的随机过程称之为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程 而从本质上说,只要产生随机过程的物理因素在很长的时间内保持不变,那么就可以 认为此随机过程是平稳的。如,在稳定的环境工作的通信机,其输出噪声就是平稳的。 旦我们确定某一随机过程是平稳的,我们就可以在任意时刻测定它的统计特性 、平稳随机过程的各态历经性 对平稳随机过程5(1),如果它的数字特征与某一样本x(0)的相对应的时间平均值之间 有下列关系:
1－6 2.3 平稳随机过程 在通信系统中应用最广泛的随机过程是平稳随机过程，因为在通信系统中所遇到的信 号和噪声，大多数可视为平稳随机过程。因此，研究平稳随机过程有很大的实际意义。 一、平稳随机过程的概念 平稳随机过程是指它的任何 n 维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。即：对于 任意的正整数 n 和任意实数 t1，t2，...，tn，τ，随机过程ξ(t)的 n 维概率密度函数满足 ( , , , ; , , , ) ( , , , ; , , , ) 1 2 1 2 1 2 1 2 = + + + n n n n n n f x x x t t t f x x x t t t （2-23） 则称ξ(t)为平稳随机过程（严平稳随机过程或狭义平稳随机过程）。由此可见，平稳随机 过程的统计特性将不随时间的推移而不同。因为 ( , ) ( , ) ( ) 1 1 1 1 1 f x t = f x t + = f x ，所以它 的一维分布与 t 无关；又， ( , ; , ) ( , ; , ) ( , ; ) 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 f x x t t = f x x t + t + = f x x ，所 以它的二维分布只与时间间隔τ有关。 平稳随机过程的数学期望为 − − a(t) = E{(t)} = xf1 (x,t)dx = xf1 (x)dx = a （2-24） 平稳随机过程的方差为 2 1 2 1 2 2 ( ) = {( )} = [ − ( )] ( , ) = [ − ] ( ) = − − t D t x a t f x t dx x a f x dx （2-25） 由此可见平稳随机过程的数学期望和方差均与时间无关；它的自相关函数只与时间间隔有 关，即 ( , ) [ ( ) ( )] ( , ; ) ( ) 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 R t t + = E t t + = x x f x x dx dx = R − − （2-26） 满足式（2-24）~（2-26）的随机过程称之为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。 而从本质上说，只要产生随机过程的物理因素在很长的时间内保持不变，那么就可以 认为此随机过程是平稳的。如，在稳定的环境工作的通信机，其输出噪声就是平稳的。一 旦我们确定某一随机过程是平稳的，我们就可以在任意时刻测定它的统计特性。 二、平稳随机过程的各态历经性 对平稳随机过程ξ(t)，如果它的数字特征与某一样本 x(t)的相对应的时间平均值之间 有下列关系：
a=EL5(]=lim Tx(dt=a a2=E5()-a}=mn[x0)-a=a (2-27) R(r)=E[5(1)(t2)=mx()x(+r)dt=R(r) 则称平稳随机过程5()具有各态历经性。“各态历经”的意思是说,从随机过程得到的任 实现,它好象历经了随机过程的所有可能状态一样。由式(2-27)可知,各台历经的随 机过程,就其数字特征而言,无需无限次的考察,而只需获得一次考察,从而使“统计平 均”化为“时间平均”,简化了计算 只有平稳随机过程才可能具有各态历经性,所以具有各态历经性的随机过程一定是平 稳随机过程;但不是所有的平稳随机过程都具有各态历经性。 [例2-2]试证明随相信号s(1)=AcoS(01+O)是广义平稳随机过程其中, A,O是常数,相位O是在0~2上均匀分布的随机变量。 iIE BH m(t)=EAcos(@, (+0))=AE(cos@,t cos8-sin o tsin 0) Acos @otE(cos 0)-Asin VotE(sn 8)3 AcosTa cos 6d6- Asin sin 0d0=0 2(0)=Es()-m)2)=E2b4cos(o1+O)3} 4E(+c20+0)}=4 R(L, t+r)=EAcoS(@, t+0)Acos[oo (t+r)+O ece o(2001+00+2)} A2 2 o+5-E(cos( 20,t +0.T+20)5 -COSOot=R(T) 可见,m(t)、a2(1)和R(t,t+)均与时间无关,而R(t,1+)=R(z 仅与时间间隔有关,所以,s()是广义平稳随机过程 24平稳随机过程的相关函数和功率谱密度
1－7 [ ( ) ( ) ( ) 1 ( ) [ ( ) ( )] lim [ ( ) ] 1 {[ ( ) ] } lim ( ) 1 [ ( )] lim 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x t x t dt R T R E t t x t a dt T E t x t dt a T a E t T T T T T T T T T = = + = = − = − = = = = → − → − → − （2-27） 则称平稳随机过程ξ(t)具有各态历经性。“各态历经”的意思是说，从随机过程得到的任 一实现，它好象历经了随机过程的所有可能状态一样。由式（2-27）可知，各台历经的随 机过程，就其数字特征而言，无需无限次的考察，而只需获得一次考察，从而使“统计平 均”化为“时间平均”，简化了计算。 只有平稳随机过程才可能具有各态历经性，所以具有各态历经性的随机过程一定是平 稳随机过程；但不是所有的平稳随机过程都具有各态历经性。 [例 2-2]试证明随相信号 ( ) cos( ) s t = A 0 t + 是广义平稳随机过程。其中， 0 A, 是常数，相位 是在 0 ~ 2 上均匀分布的随机变量。 仅与时间间隔有关，所以， 是广义平稳随机过程。 可见， 、 和 均与时间无关，而 证明： ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) cos ( ) 2 {cos(2 2 )} 2 cos 2 {cos cos(2 2 )} 2 ( , ) { cos( ) cos[ ( ) )]} 2 1 cos 2( ) 2 ( ) [ ( ) ( )] [ cos( )] sin 0 2 1 cos sin 2 1 cos cos {cos } sin {sin )} ( ) { cos( )} {cos cos sin sin )} 2 0 2 0 0 2 0 2 0 0 0 2 0 0 2 0 2 2 0 2 2 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 s t m t t R t t R t t R R A E t A A E t A R t t E A t A t A E t A t E s t m t E A t A t d A t d A t E A t E m t E A t AE t t + + = = = = + + + = + + + + = + + + = + + = = − = + = − = = − = + = − 2.4 平稳随机过程的相关函数和功率谱密度
平稳随机过程的相关函数是特别重要的一个函数,因为平稳随机过程的统计特性可以 由相关函数描述;另一方面,相关函数还揭示了随机过程的频谱特性。 平稳随机过程的相关函数及其性质 设5()实平稳随机过程,其自相关函数具有如下性质:(P16-17) (1)R(O)为5(1)的平均功率 R(0)=EL5(1)=s (2-28) (2)R(r)为偶函数 R(r)=R(-7) (2-29) (3)R(0)为R()的上界: R(r)≤R(O) (2-30) (4)R(∞)为5(m)的直流功率 R(∞)=E2[() (2-31) (5)R(0)-R(∞)为5(0)的交流功率(方差):R(0)-R(∞)=a2(2-32) 平稳随机过程的频谱特性—功率谱密度和相关函数之间的关系 确定信号的自相关函数与其功率谱之间有确定的傅立叶变换关系,平稳随机过程5() 的自相关函数R(z)与其功率谱P2(O)之间也互为傅立叶变换关系,即 P(o)=LR(e/edr r(r)=P(o)ejor dr 上式也称之为维纳-辛钦定理(具体推倒过程详见P17~18) 25高斯过程 、高斯过程的定义 若随机过程5(1)的任意n维概率密度函数满足 ∫(x1,x2…xn;1,12…ln)= 2-28) o B 则5(1)为高斯过程(正态随机过程) 式中a=E[5()ak2=E[5(4)-a4]2:B为归一化协方差矩阵的行列式,即
1－8 平稳随机过程的相关函数是特别重要的一个函数，因为平稳随机过程的统计特性可以 由相关函数描述；另一方面，相关函数还揭示了随机过程的频谱特性。 一、平稳随机过程的相关函数及其性质 设ξ(t) 实平稳随机过程，其自相关函数具有如下性质：（P16~17） （1）R(0)为ξ(t)的平均功率： R(0) = E[ (t)] = s 2 （2-28） （2）R(τ)为偶函数： R( ) = R(− ) （2-29） （3）R(0)为 R(τ)的上界： R() R(0) （2-30） （4） R() 为ξ(t)的直流功率： ( ) [ ( )] 2 R = E t （2-31） （5） R(0) − R() 为ξ(t)的交流功率（方差）： 2 R(0) − R() = （2-32） 二、平稳随机过程的频谱特性——功率谱密度和相关函数之间的关系 确定信号的自相关函数与其功率谱之间有确定的傅立叶变换关系，平稳随机过程ξ(t) 的自相关函数 R( ) 与其功率谱 () P 之间也互为傅立叶变换关系，即 − − − = = R P e d P R e d j j ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) （2-27） 上式也称之为维纳-辛钦定理（具体推倒过程详见 P17~18）。 2.5 高斯过程 一、高斯过程的定义 若随机过程ξ(t)的任意 n 维概率密度函数满足： − − − = = = n j n k k k k j j j j k n n n n x a x a f x x x t t t 2 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 exp (2 ) 1 ( , , , ; , , , ) B B B （2-28） 则ξ(t)为高斯过程（正态随机过程）。 式中 2 2 [ ( )]; [ ( ) ] k k k k ak a = E t = E t − ；|B|为归一化协方差矩阵的行列式，即
B biB Bk为行列式B中元素bk的代数余因子;bk为归一化协方差函数 b=5()-a,E()-a4 、高斯过程的特性 、若高斯过程是宽平稳的,则它也是严平稳的。 因为正态随机过程的n维分布仅由各随机变量的数学期望、方差和两两之间的归一化 协方差函数决定,所以,如果过程是宽平稳的,即其均值与时间无关,协方差只与时间间 隔有关,而与时间起点无关,则它的n维分布也与时间起点无关,故它也是严平稳的 2、若高斯过程中的随机变量之间是互不相关的,则它们也是统计独立的。 若高斯过程中的随机变量之间是互不相关的,则式(229)中,对于所有 ≠k,有b=0,故式(228)变为 (x1-a,)2 exp Rn 即,高斯过程中的随机变量也是统计独立的。 高斯过程的一维概率分布及其特性 1.一维正态分布 若随机变量ξ的概率密度函数可以表示为 f(x)= (x-a) (2-31) √2丌o 则5称之为一维正态分布的随机变量
1－9 1 1 1 1 2 21 2 12 1 n n n n b b b b b b B = |B|jk为行列式|B|中元素 bjk的代数余因子；bjk为归一化协方差函数： j k j j k k jk E t a t a b {[( ) − ][( ) − ] = （2-29） 二、高斯过程的特性 1、若高斯过程是宽平稳的，则它也是严平稳的。 因为正态随机过程的 n 维分布仅由各随机变量的数学期望、方差和两两之间的归一化 协方差函数决定，所以，如果过程是宽平稳的，即其均值与时间无关，协方差只与时间间 隔有关，而与时间起点无关，则它的 n 维分布也与时间起点无关，故它也是严平稳的。 2、若高斯过程中的随机变量之间是互不相关的，则它们也是统计独立的。 若高斯过 程中的 随机 变量之 间是互 不相关 的，则 式（2-29） 中， 对于所有 , = 0, bjk j k 有 故式（2-28）变为 ( ; ) ( ; ) ( ; ) 2 ( ) exp 2 1 ( ) 2 1 exp (2 ) 1 ( , , , ; , , , ) 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 n n n j j j j j n j j j j n n n n f x t f x t f x t x a x a f x x x t t t = − = − − − = = = （2-30） 即，高斯过程中的随机变量也是统计独立的。 三、高斯过程的一维概率分布及其特性 1．一维正态分布 若随机变量ξ的概率密度函数可以表示为 − = − 2 2 2 ( ) exp 2 1 ( ) x a f x （2-31） 则ξ称之为一维正态分布的随机变量
2.一维正态分布的特性 维正态分布的fx)可以由图2-1表示 A(x) 图2-2正态分布的概率密度 可以看出fx)有如下特性:(P20) 若式(2-31)中a=0,=1,则称这种正态分布为标准化的,此时 f(x)=exp (232) √2丌 3.正态分布函数及其与误差函数和误差补函数之间的关系 根据定义,正态分布函数可表示为 F(x)= √2rσ (2-33) (二-a) 式中,φ(x)称为概率积分函数,简称概率积分,定义为 p(x) 误差函数定义为 erf(x) (2-34)
1－10 2．一维正态分布的特性 一维正态分布的 f(x)可以由图 2-1 表示 f(x) x t2 图 2-2 正态分布的概率密度 2 1 可以看出 f(x)有如下特性：（P20） 若式（2-31）中 a = 0, = 1 ，则称这种正态分布为标准化的，此时 = − 2 exp 2 1 ( ) 2 x f x （2-32） 3．正态分布函数及其与误差函数和误差补函数之间的关系 根据定义，正态分布函数可表示为 − = − = − − = − − − x a dz z a dz z a F x x x 2 2 2 2 2 ( ) exp 2 1 2 ( ) exp 2 1 ( ) （2-33） 式中， (x) 称为概率积分函数，简称概率积分，定义为 − = − x dz z x 2 exp 2 1 ( ) 2 （2-33） 误差函数定义为 − = x z erf x e dz 0 2 2 ( ) （2-34）
