第二章厦机信号分析 2.1 随机信号和随机噪声的基本概念 随机信号:实际通信系统中由信源发出的信息是 随机的,或者说是不可预知的,因而携带信息的信号 也是随机的,这种具有随机性的信号,称为随机信号 随机噪声:携带了信息的信号在传输过程中将受 到噪声的污染,而噪声也是随机的,称为随机噪声 随机信号和随机噪声不可能用一个或几个时间函数 准确地描述,但它们都遵循一定的统计规律,我们可 以用概率统计的方法进行研究
第二章 随机信号分析 2.1 引 言 l 随机信号和随机噪声的基本概念 随机信号：实际通信系统中由信源发出的信息是 随机的，或者说是不可预知的，因而携带信息的信号 也是随机的，这种具有随机性的信号，称为随机信号。 随机噪声：携带了信息的信号在传输过程中将受 到噪声的污染，而噪声也是随机的，称为随机噪声。 随机信号和随机噪声不可能用一个或几个时间函数 准确地描述，但它们都遵循一定的统计规律，我们可 以用概率统计的方法进行研究
2,2随机过程的一般描述 随机变量及其统计特性 1.随机变量的 某随机实验可能有许多个结果,我们可以引 入一变量X,它将随机地取某些数值,用这些数 值来表示各个可能的结果,这一变量X就称之为 随机变量。 当随机变量X的取值个数是有限的或可数无 穷个时,则称它为离散随机变量;否则,就称它 为连续随机变量,即可能的取值充满某一有限或 无限区间 如果一个随机实验需要用多个随机变量(X1 ,X2,…,Xn)表示,则多个随机变量(X1,X2 ,X)的总体称之为n维随机变量
一、随机变量及其统计特性 1．随机变量的概念 某随机实验可能有许多个结果，我们可以引 入一变量X，它将随机地取某些数值，用这些数 值来表示各个可能的结果，这一变量X就称之为 随机变量。 当随机变量X的取值个数是有限的或可数无 穷个时，则称它为离散随机变量；否则，就称它 为连续随机变量，即可能的取值充满某一有限或 无限区间。 如果一个随机实验需要用多个随机变量（X1 ，X2，…，Xn）表示，则多个随机变量（X1，X2 ，…，Xn）的总体称之为n维随机变量。 2.2 随机过程的一般描述
2.随机变量的概率分布函数和概率密度函数 用P(Xx)表示X的取值不大于x的概率,则定 义函数 F(x)=P(X≤x) 为随机变量X的概率分布函数。这里,Ⅺ可以是离 散随机变量,也可以是连续随机变量。 若X是连续随机变量,对于一非负函数f(x) 有下式成立 f(udu (2-2) 则∫(x)称之为X的概率密度函数(简称概率密 度)
2．随机变量的概率分布函数和概率密度函数 用P(X≤x)表示X的取值不大于x的概率，则定 义函数 为随机变量X的概率分布函数。这里，X可以是离 散随机变量，也可以是连续随机变量。 F(x) = P(X x) (2−1) 若X是连续随机变量，对于一非负函数f（x） 有下式成立 则f（x）称之为X的概率密度函数（简称概率密 度）。 ( ) = ( ) (2− 2) − F x f u du x
也可表示为 f(x) F( (2-3) 对二维随机变量(X,Y),我们把两个事 件(Kx)和(Yy)同时出现的概率定义为二 维随机变量的二维分布函数 F(x,y)=P(X≤x,Y≤y) (2-4) 同样 f(x,y)=2 F(x,y) (2-5 cOy 称之为二维概率密度
也可表示为 对二维随机变量（X，Y），我们把两个事 件（X≤x）和（Y≤y）同时出现的概率定义为二 维随机变量的二维分布函数 同样， 称之为二维概率密度。 ( ) = F(x) (2 −3) dx d f x F(x, y) = P(X x,Y y) (2−4) ( , ) ( , ) (2 5) 2 − = F x y x y f x y
1.随机变量的数字特征 (1)数学期望:反映了随机变量取值的集中 位置(均值) 设P(x=-1,2,…是离散随机变量x的取值 x的概率,则其数学期望为 E{}=2xP(x) (2-6 对于连续随机变量X,设fx)为其概率密度 函数,则则其数学期望为 E{X}=x(x)d(2-7)
1．随机变量的数字特征 （1）数学期望：反映了随机变量取值的集中 位置（均值） 设P(xi )(i=1,2,…,K)是离散随机变量X的取值 xi的概率，则其数学期望为 对于连续随机变量X，设f(x)为其概率密度 函数，则则其数学期望为 { } ( ) (2 6) 1 = − = K i i i E X x P x { }= ( ) (2−7) − E X x f x dx
(2)方差:反映了随机变量的集中程度; 方差定义为: O'=D(X =E(X-m)= (x-m)'f(x) (2-8 式中m=E{}。而方差的平方根又称为均方差或标 准偏差 (3)两个随机变量的相关系数:反映了它们之间的 线性相关程度。 对两个随机变量X,Y定义 E(X-mx(,);=[(x-mxXY-mm)f(x, y dxdy(2-9 为X,Y的相关矩或协方差
（2）方差：反映了随机变量的集中程度； 方差定义为： 式中m=E{X}。而方差的平方根又称为均方差或标 准偏差。 （3）两个随机变量的相关系数：反映了它们之间的 线性相关程度。 对两个随机变量X，Y定义 为X，Y的相关矩或协方差。 { } {( ) } ( ) ( ) (2 8) 2 2 2 = = − = − − − D X E X m x m f x dx {( − )( − )} = ( − )( − ) ( , ) (2−9) − − E X m Y m x m Y m f x y dxdy X Y X Y
例21试求下列均匀概率密度函数的数学期望和方差 a≤X<a f(x)={2a 其它x 解:E(x)=xf(x)x X X 0 2a 4 D(x=(x-m)'f(rddr raxdx=3 2 2 2a 6a
[例2-1]试求下列均匀概率密度函数的数学期望和方差： 2 6 3 ( ) ( ) ( ) 0 2 4 ( ) ( ) 0 2 1 ( ) 2 3 2 2 2 a a x dx a x D x x m f x dx a x dx a x E x x f x dx x a x a f x a a a a a a a a a = − = = = = = = = − = − − − − − − 解： 其它
而X,Y的归一化相关矩,称之为X,Y的相关系数 定义为 E(X-mr-my) (2-10) ECX-Metcr-my Oxor 随机过程及其统计特性 1.随机过程的概念 定义:设随机实验E的可能结果为ξ(),实验的样本 空间S为{x()2x2()…,x(},正整数,x().第个样 本函数(又称之为实现),每次实验之后,2(t)取空间S 中的某一样本函数,于是称此(1)为随机函数。当t代表 时间量时,则称此(为随机过程
而X，Y的归一化相关矩，称之为X，Y的相关系数， 定义为 二、随机过程及其统计特性 1．随机过程的概念 定义：设随机实验E的可能结果为ξ(t)，实验的样本 空间S为{ x1 (t), x2 (t),…, xi (t)}，i为正整数，xi (t)为第i个样 本函数（又称之为实现），每次实验之后，ξ(t)取空间S 中的某一样本函数，于是称此ξ(t)为随机函数。当t代表 时间量时，则称此ξ(t)为随机过程。 (2 10) {( ) } {( ) } {( )( )} 1 1 2 2 = − − − − − = X Y X Y X Y u E X m E Y m E X m Y m
如对同一台通信机作了n次观测,得到的结果 是不相同的,如图2-1所示。因为通信机的输出噪 声电压随时间的变化是不可预知的,所以,在同 时刻t这n次观测的记录结果,可以由随机变量 X(t)进行表示,而在不同的时刻得到的观测结果 的集合(D={X(t1),￥(2),…,X(t),则构成了通 信杋输岀噪声的随机过程。可以这样理解,随机 过程是依赖于时间参数的随机变量的全体,它是 时间的函数,而在每一个时间点上又可以由一个 随机变量表述
如对同一台通信机作了n次观测，得到的结果 是不相同的，如图2-1所示。因为通信机的输出噪 声电压随时间的变化是不可预知的，所以，在同 一时刻t i这n次观测的记录结果，可以由随机变量 X(t i )进行表示，而在不同的时刻得到的观测结果 的集合ξ(t)={ X(t 1 )，X(t 2 )，…，X(t i )，则构成了通 信机输出噪声的随机过程。可以这样理解，随机 过程是依赖于时间参数的随机变量的全体，它是 时间的函数，而在每一个时间点上又可以由一个 随机变量表述
x1(D) X2(t) lll ■■■■ llh 图2-1通信机的输出噪声波形
x1 (t) t x2 (t) t xn (t) t t 1 t 2 图 2-1 通信机的输出噪声波形