23平稳随机过程 在通信系统中应用最广泛的随机过程是平稳随机过程,因为在通信系统中所遇到的信 号和噪声,大多数可视为平稳随机过程。因此,研究平稳随机过程有很大的实际意义, 、平稳随机过程的概念 平稳随机过程是指它的任何n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。即:对于 任意的正整数n和任意实数t,h,…,,r,随机过程5(o的n维概率密度函数满足 ∫n(x1,x2…,xn;l1,12;…,tn)=fn(x1,x2…,xn1+,l2+r,…Ln+r)(2-23) 则称ξ()为平稳随机过程(严平稳随机过程或狭义平稳随机过程)。由此可见,平稳随机 过程的统计特性将不随时间的推移而不同。因为f1(x,1)=f(x,1+r)=f1(x),所以它 的一维分布与1无关:又,∫2(x,x2;1,2)=f2(x1,x21+x,12+z)=f2(x1,x2r),所 以它的二维分布只与时间间隔r有关 平稳随机过程的数学期望为 a(t)=E(0)=xf(x, t)dx= xf(x)dx=a (224) 平稳随机过程的方差为 a2(0)=D5()-=【x-ao)3(x)=[[x-af(xk=o2(25) 由此可见平稳随机过程的数学期望和方差均与时间无关:它的自相关函数只与时间间隔有 关,即 R(4+=E5(1(+)=[xx(x1x:)d=R()(2) 满足式(2-24)~(2-26)的随机过程称之为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程 而从本质上说,只要产生随机过程的物理因素在很长的时间内保持不变,那么就可以 认为此随机过程是平稳的。如,在稳定的环境工作的通信机,其输出噪声就是平稳的。 旦我们确定某一随机过程是平稳的,我们就可以在任意时刻测定它的统计特性 、平稳随机过程的各态历经性 对平稳随机过程5(1),如果它的数字特征与某一样本x(0)的相对应的时间平均值之间 有下列关系:1－6 2.3 平稳随机过程 在通信系统中应用最广泛的随机过程是平稳随机过程，因为在通信系统中所遇到的信 号和噪声，大多数可视为平稳随机过程。因此，研究平稳随机过程有很大的实际意义。 一、平稳随机过程的概念 平稳随机过程是指它的任何 n 维分布函数或概率密度函数与时间起点无关。即：对于 任意的正整数 n 和任意实数 t1，t2，...，tn，τ，随机过程ξ(t)的 n 维概率密度函数满足 ( , , , ; , , , ) ( , , , ; , , , ) 1 2 1 2 1 2 1 2 = + + + n n n n n n f x x  x t t  t f x x  x t t  t （2-23） 则称ξ(t)为平稳随机过程（严平稳随机过程或狭义平稳随机过程）。由此可见，平稳随机 过程的统计特性将不随时间的推移而不同。因为 ( , ) ( , ) ( ) 1 1 1 1 1 f x t = f x t + = f x ，所以它 的一维分布与 t 无关；又， ( , ; , ) ( , ; , ) ( , ; ) 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 f x x t t = f x x t + t + = f x x  ，所 以它的二维分布只与时间间隔τ有关。 平稳随机过程的数学期望为    −  − a(t) = E{(t)} = xf1 (x,t)dx = xf1 (x)dx = a （2-24） 平稳随机过程的方差为 2 1 2 1 2 2  ( ) = {( )} = [ − ( )] ( , ) = [ − ] ( ) =     −  − t D t x a t f x t dx x a f x dx （2-25） 由此可见平稳随机过程的数学期望和方差均与时间无关；它的自相关函数只与时间间隔有 关，即 ( , ) [ ( ) ( )] ( , ; ) ( ) 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 R t t + = E  t  t + = x x f x x  dx dx = R     −  − （2-26） 满足式（2-24）~（2-26）的随机过程称之为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。 而从本质上说，只要产生随机过程的物理因素在很长的时间内保持不变，那么就可以 认为此随机过程是平稳的。如，在稳定的环境工作的通信机，其输出噪声就是平稳的。一 旦我们确定某一随机过程是平稳的，我们就可以在任意时刻测定它的统计特性。 二、平稳随机过程的各态历经性 对平稳随机过程ξ(t)，如果它的数字特征与某一样本 x(t)的相对应的时间平均值之间 有下列关系：