a-月=0，a=B0=1,2) 故α的分解式是唯一的 推论+是直和一y∩={O} 证明先证充分性设0向量有分解式 0=a+4,a∈'i=1,2 则C%2=-a∈K∩2，由假设a=a%=0,由定理8知，+2是直和 再证必要性任取α∈V∩V,.则零向量可表示成 0=a+(-a) 因为K+是直和.所以a4=-a=0.故∩%={0} 定理9设V,是'的子空间，W=+则 W=⊕2台dimW=dim+dim 3 证明由推论知W=V⊕'，台y∩V,=0,即dim(∩')=0. 再由维数公式(1)即知(3)成立 定理10设U是V的一个子空间，则必存在一个子空间W使V=U©m 证明 取U的一组基a4,.,a,把它扩充成V的一组基 a,.am,aml.,a。 令W=L(C.,a).则显然V=U+W.再定理9得V=U⊕W 定义1Ⅱ设r,'都是'的子空间若a∈+.+V的分解式 a=+42++a,a,e,i=l2,s 是唯一的，则此和就称为直和记为⊕⊕.⊕' 定理11设，.'是V的子空间，则下述条件等价 )W=是直和 2).零向量的表示法唯一； 0, ( 1,2). i i i i     − = = =i 故  的分解式是唯一的. 推论 V V 1 2 + 是直和  = V V 1 2 0 证明 先证充分性.设 0 向量有分解式 1 2 0 , . 1,2. = +  =   i i V i 则   2 1 1 2 = − V V ,由假设 1 2  = = 0 ,由定理 8 知, V V 1 2 + 是直和. 再证必要性.任取  V V 1 2 .则零向量可表示成 0 ( ). = + −   因为 V V 1 2 + 是直和.所以 2 1   = − = 0 .故 V V 1 2 =0 . 定理 9 设 1 2 V V, 是 V 的子空间, W V V = +1 2 则 1 2 1 2 W V V W V V =   = + dim dim dim (3) 证明 由推论知 1 2 1 2 W V V V V =   = 0 ,即 1 2 dim( ) 0 V V = . 再由维数公式(1)即知(3)成立. 定理 10 设 U 是 V 的一个子空间,则必存在一个子空间 W 使 V U W =  . 证明 取 U 的一组基 1 , , ,   m ,把它扩充成 V 的一组基 1 1 , , , ,     m m n + . 令 1 ( , , ) W L =   m n + .则显然 V U W = + .再定理 9 得 V U W =  . 定义 11 设 1 , , V Vs 都是 V 的子空间.若   + +  V V 1 s 的分解式 1 2 , , 1,2, ,      = + + +  = s i i V i s 是唯一的,则此和就称为直和.记为 V V V 1 2    s 定理 11.设 1 , V Vs 是 V 的子空间,则下述条件等价: 1). 1 s i i W V = =  是直和; 2).零向量的表示法唯一;