下面证明必要性,用反证法。设f(x,y)在D上可积,但f(x,y)在D 上不可积。由于 If(x,yl=f(x,y)+f(,y) 那么非负函数∫+(x,y)和f(x,y)中至少有一个在D上不可积。不妨设 ∫*(x,y)在D上不可积。由引理13.4.1知,对于任意大的正数K,存 在一条曲线r,使得在它割出的D的有界子区域D上成立 f∫(x,y)dxdy>K 因此由归纳法可知,存在一族曲线{rn},它们割出的D的有界子区域 D}满足DcD2c…cDnc…,及limd(厂n)=+0。 且成立 ∫r(xy)ddy>2/(x,y)ddy+n(n=12…) 因此 f(r,y)dxdy>llf(x, y)l dxdy+n nm+1-Dn下面证明必要性，用反证法。设 f (x, y) 在D上可积，但| f (x, y)|在 D 上不可积。由于 | f (x, y)|= f x y + ( , )+ f x y − ( , )， 那么非负函数 f x y + ( , )和 f x y − ( , )中至少有一个在D上不可积。不妨设 f x y + ( , )在 D上不可积。由引理 13.4.1 知，对于任意大的正数K ，存 在一条曲线 ，使得在它割出的D的有界子区域D 上成立 f x y x y K ( , )d d  +   D 。 因此由归纳法可知，存在一族曲线{ }  n ，它们割出的D的有界子区域 { } D n 满足 1 2 lim ( ) n n n d  → D D D     = + ，及 。 且成立 1 ( , )d d 2 | ( , ) | d d ( 1,2, ) n n f x y x y f x y x y n n + +  + =   。 D D 因此 1 ( , )d d | ( , ) | d d ( 1,2, ) n n n f x y x y f x y x y n n + − +  + =   。 D D D