反常二重积分有一个重要特点:可积与绝对可积是等价的。 定理13.4.2设D为R2上具有分段光滑边界的无界区域,则 f(x,y)在D上可积的充分必要条件是:f(x,y)在D上可积 证记 f(x,y),当f(x,y)≥0 ft(x,y) 当f(x,y)<0; 及 当f(x,y)>0 f∫(x,y)= -(x,y),当/(x,y)≤0。 显然,这两个函数都是非负的,且不大于|f(x,y) 因此,由比较判别法,若|f(x,y)在D上可积,则f+(x,y)和f(x,y) 均在D上可积,于是 f(x,y)=f(x,y)-f(x, y) 也在D上可积。充分性得证。反常二重积分有一个重要特点：可积与绝对可积是等价的。 定理 13.4.2 设D为 2 R 上具有分段光滑边界的无界区域，则 f (x, y) 在 D上可积的充分必要条件是：| f (x, y)|在 D上可积。 证 记 f x y f x y f x y f x y + =      ( , ) ( , ) , ( , ) , , ( , ) ; 当 当 0 0 0 及 f x y f x y f x y f x y − =  −     ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) 0 0 0 当 当 。 显然，这两个函数都是非负的，且不大于| f (x, y)|。 因此，由比较判别法，若| f (x, y)|在D上可积，则 f x y + ( , )和 f x y − ( , ) 均在D上可积，于是 f (x, y) f (x, y) f (x, y) + − = − 也在D上可积。充分性得证