由于f(x,y)在Dn1-D上可积,可知f*(x,y)在Dn1-D上可积(见 本章§1习题4),其 Darboux小和收敛于它在Dn1-Dn上的积分。所以 充分细分Dn1-D后,f(x,y)的 Darboux小和 m.o1> JJ f(, y)drdy-1>[If(,y)Idrdy+n (n=1,2,…), +1-D 其中△on为细分Dn1-D后所得小区域on的面积(r=12,…,Sn),m为 f(x,y)在小区域σn上的下确界。由上式知,存在许多Dn1-D上的小 区域σn,在它们上面成立m>0,记P为所有这样的小区域的并集。 那么 ∫(x,y)dy2∑m△on>小f(x,y)|ddy+n-1(m=12…)由于 f (x, y) 在 D D n n +1 − 上可积，可知 f x y + ( , )在D D n n +1 − 上可积（见 本章§1 习题 4），其 Darboux 小和收敛于它在D D n n +1 − 上的积分。所以 充分细分D D n n +1 − 后， f (x, y) + 的 Darboux 小和 1 1 ( , )d d 1 | ( , ) | d d 1 ( 1,2, ) n S i i n n i n n n m f x y x y f x y x y n n  + = − +    −  + − =   D D D ， 其中 i n σ 为细分D D n n +1 − 后所得小区域 i n σ 的面积（ Sn i =1,2,  , ）， i mn 为 f (x, y) + 在小区域 i n σ 上的下确界。由上式知，存在许多D D n n +1 − 上的小 区域 i n σ ，在它们上面成立  0 i mn ，记 P n为所有这样的小区域的并集。 那么 1 ( , )d d | ( , ) | d d 1 ( 1,2, ) n S i i n n i n n f x y x y m f x y x y n n  + =      + − =  P D