《数学分析》下册 第二十章曲线积分 海南大学数学系 存在且与分割T与界点(5，n,)的取法无关，则称此极限为函数P,Q有线段C上的 第二类曲线积分，记为[P山+Q或「P+Q,也可以记为 AB ∫Pk+Q或「Pk+O, 。 注：(1)若记f(x,y）=(P(x,y),Q(x,y),ds=(dx,dy) 则上述记号可写成向量形式：「仙 (2)倘若C为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线，P,Q,R为定义在C上的 函数，则可按上述办法定义沿有向曲线C的第二类曲线积分，并记为 [f=「P(x,八，)dk+Q(xy)y+R(x,y,)d. 按这一定义，有力场F(x,)=(P(x,),O(x,y)沿平面曲线L从点A到点B 所作的功为W=[P+Q.流速场(x,y)=(P(x,),Qx,)在单位时间内 通过曲线AB从左侧到右侧的总流量E为E=∫P心-Q本 第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性·对二型曲线积分有 JB=-, 因此，定积分是第二型曲线积分中当曲线为X轴上的线段时的特例。 可类似地考虑空间力场F(x,y,)=(Px,y,),Qx,y,),R(x,y,=)沿空间 曲线AB所作的功.导出空间曲线上的第二型曲线积分 ∫P(xyt+0xy=+Rx,y=t (四)、第二型曲线积分的性质： 第二型曲线积分可概括地理解为向量值函数的积累问题.与我们以前讨论 过的积分相比，除多了一层方向性的考虑外，其余与以前的积累问题是一样的， 还是用Riea的思想建立的积分，因此，第二型曲线积分具有(R)积分的共 性，如线性、关于函数或积分曲线的可加性·但第二型曲线积分一般不具有关 于函数的单调性，这是由于一方面向量值函数不能比较大小，另一方面向量值 函数在小弧段上的积分还与弧段方向与向量方向之间的夹角有关. (1)线性性设C为有向曲线，∫f仙，「g心存在，则 《数学分析》下册 第二十章 曲线积分 海南大学数学系 3 存在且与分割 T 与界点(  i  j , )的取法无关,则称此极限为函数 P,Q 有线段 C 上的 第二类曲线积分,记为  c Pds + Qdy 或  AB Pds + Qdy ,也可以记为   + c c Pdx Qdy 或  AB Pds Qdy AB  + . 注:(1)若记 f(x,y)= (P(x,y),Q(x,y)) ,ds=(dx,dy) 则上述记号可写成向量形式:  c fds (2)倘若 C 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,P,Q,R 为定义在 C 上的 函数,则可按上述办法定义沿有向曲线 C 的第二类曲线积分,并记为 fds P x y z dx Q x y z dy R x y z dz c c = ( , , ) + ( , , ) + ( , , )   . 按这一定义 , 有力场 F(x, y) = (P(x, y) , Q(x, y)) 沿平面曲线 L 从点 A 到点 B 所作的功为  = + AB W Pdx Qdy . 流速场 v(x, y) = (P(x, y) , Q(x, y)) 在单位时间内 通过曲线 AB 从左侧到右侧的总流量 E 为  = − AB E Pdy Qdx . 第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对二型曲线积分有   = − AB BA , 因此, 定积分是第二型曲线积分中当曲线为 X 轴上的线段时的特例. 可类似地考虑空间力场 F(x, y,z) = (P(x, y,z) , Q(x, y,z) , R(x, y,z)) 沿空间 曲线 AB 所作的功. 导出空间曲线上的第二型曲线积分  + + AB P(x, y,z)dx Q(x, y,z)dy R(x, y,z)dz . （四）、第二型曲线积分的性质: 第二型曲线积分可概括地理解为向量值函数的积累问题 . 与我们以前讨论 过的积分相比, 除多了一层方向性的考虑外, 其余与以前的积累问题是一样的, 还是用 Riemma 的思想建立的积分 . 因此 , 第二型曲线积分具有(R )积分的共 性 , 如线性、关于函数或积分曲线的可加性 . 但第二型曲线积分一般不具有关 于函数的单调性 , 这是由于一方面向量值函数不能比较大小, 另一方面向量值 函数在小弧段上的积分还与弧段方向与向量方向之间的夹角有关. (1)线性性 设 C 为有向曲线, c fds, c gds 存在, 则