《数学分析》下册 第二十章曲线积分 海南大学数学系 -l个分点M,M2,Mn,与A=M,B=Mn一起把曲线分成n个有向小曲线段 MM,(i=l,2,n),以△S记为小曲线段M.M,的弧长.元=mmx(S; 设力F(x,y)在x轴和y轴方向上的投影分别为P(x,y)与Q(x,y),即 F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))=P(x,y)i+Q(x y)j, 由于M(3li)M,(,yb记A=x,-xa,4y=y-y和C=(Ax,Ay)） 从而力F(x,y)在小曲线段MM,上所作的功 W,≈F(5,n,)C=P(5,n)Ar,+投(5，n,)Ag, 其中(5，n,)为小曲线段M1M,上任一点，于是力F沿C(AB)所作的功可近似 W,=∑W,≈(PS,n,)Ax+∑0s,n,)y, 当无→0时，右端积分和式的极限就是所求的功，这种类型和式极限计算上述形 式的和式上极限，得 W=∫hF(,d),即W-F. (二)、稳流场通过曲线（从一侧到另一侧)的流量：解释稳流场.（以磁场 为例). 设有流速场(x,)=(P(x,》,Cx,以.求在单位时间内通过曲线AB从左 侧到右侧的流量E,通过曲线AB从左侧到右侧的总流量E为 dE=Px.y-x.d (三)、第二型曲线积分的定义：设P,Q为定义在光滑或分段光滑平面有向曲 线C上的函数，对任一分割T,它把C分成n个小弧段MM,I=l,2,3,.,n: 记M,(x,y),MM,弧长为△s,元=max{Si,△x,=x-xAy,=y,-y, I=l,2,3,n.又设(5，n)eMM,若极限 1imp(G.m).Axi+lim(G.m).Ayt《数学分析》下册 第二十章 曲线积分 海南大学数学系 2 n-1 个分点 , ,., , M1 M2 Mn−1 与 A= M B = Mn , 0 一起把曲线分成 n 个有向小曲线段 Mi−1Mi (i=1,2,.,n),以 Si 记为小曲线段 Mi−1Mi 的弧长. = max{Si}. 设力 F(x,y)在 x 轴和 y 轴方向上的投影分别为 P(x,y)与 Q(x,y),即 F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))=P(x,y)i+Q(x,y)j, 由于 ( , ). ( , ), i 1 i 1 i 1 i i i M x y M x y − − − 记 1 1 ,  i = i − i−  i = i − i− x x x y y y 和 i mi C −1 =( (x,y) ) 从而力 F(x,y)在小曲线段 Mi−1Mi 上所作的功 Wi ( , )  F  i i mi C −1 = P(  i  j , ) i x +Q (  i  j , ) i y , 其中(  i  j , )为小曲线段 Mi−1Mi 上任一点,于是力 F 沿 C(AB)所作的功可近似 Wi == n i Wi 1 i n i i i i n i i i   P S x +Q s y =1 =1 ( ( , )) ( , ) 当  →0 时,右端积分和式的极限就是所求的功,这种类型和式极限计算上述形 式的和式上极限,得 W F (dx,dy) AB =    , 即 W F ds L =   . （二）、稳流场通过曲线 ( 从一侧到另一侧 ) 的流量: 解释稳流场. ( 以磁场 为例 ). 设有流速场 v(x, y) = (P(x, y) , Q(x, y)). 求在单位时间内通过曲线 AB 从左 侧到右侧的流量 E . 通过曲线 AB 从左侧到右侧的总流量 E 为   = − AB AB dE P(x, y)dy Q(x, y)dx . （三）、第二型曲线积分的定义: 设 P,Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲 线 C 上的函数,对任一分割 T,它把 C 分成 n 个小弧段 Mi−1Mi ,I=1,2,3,.,n; 记 ( , ) i i i M x y , Mi−1Mi 弧长为 i s , = max{Si}, 1 1 ,  i = i − i−  i = i − i− x x x y y y , I=1,2,3,.,n.又设 (  i  j , )  Mi−1Mi ,若极限 lim = n i p i i 1 ( , ). xi +lim = n i Q i i 1 ( , ). yi