《数学分析》下册 第二十章曲线积分 海南大学数学系 a,BeR,则[(ad+时)d存在，且∫(ad+)d=a[f仙+Bgd (②)可加性：设体存在，C=CuC2,→杰，体存在，且 「f体=[仙+，f体。 注：()平面上光滑闭曲线如何规定方向呢？此时无所谓”起点”终点”， 若为封闭有向线段，则记为体 (2)设C~是C的反向曲线（即C~和C方向相反），则[f体=-「f仙 即是说第二类曲线积分与曲线的方向有关（注意第一类曲线积分表达示是函数￡ 与弧长的乘机，它与曲线C的方向无关)，这是两种类型曲线积分的一个重要差 别. 二、第二型曲线积分的计算： 曲线的自然方向：设曲线L由参数式给出.称参数增大时曲线相应的方向 为自然方向. 设L为光滑或按段光滑曲线，L：x=(),y=(),a≤1≤B. A(o(a),a,B(o(B),(B:函数Px,)和Q(x,y)在L上连续，则沿L的 自然方向（即从点A到点B的方向）有 SP(x.ys+Q(x.dv-P.v+Ql)vvht. (证略) 注：起点参数值作下限，终点参数值作上限。 侧1计算达+0- ,其中L分别沿以下路线从点4A,到点B2,3), i)直线AB: i)抛物线4CB:y=2-+1: ⅲ)三角形周界ADBA 解 a经-间《数学分析》下册 第二十章 曲线积分 海南大学数学系 4 ,  R, 则 f f ds c ( )   +  存在,且    + = + c c c (f f )ds  fds  gds . (2)可加性:设 c fds 存在,C = C1 C2,   1  2 , c c fds fds 存在,且    = + c c1 c2 fds fds fds . 注: (1)平面上光滑闭曲线如何规定方向呢?此时无所谓”起点”终点”, 若为封闭有向线段,则记为  c fds (2) 设 C − 是 C 的反向曲线(即 C − 和 C 方向相反),则 c fds =- c fds 即是说第二类曲线积分与曲线的方向有关(注意第一类曲线积分表达示是函数 f 与弧长的乘机,它与曲线 C 的方向无关),这是两种类型曲线积分的一个重要差 别. 二、第二型曲线积分的计算: 曲线的自然方向: 设曲线 L 由参数式给出. 称参数增大时曲线相应的方向 为自然方向. 设 L 为光滑或按段光滑曲线 , L : x = (t), y =(t),   t   . A ((),()), B ((),()) ; 函数 P(x, y) 和 Q(x, y) 在 L 上连续, 则沿 L 的 自然方向( 即从点 A 到点 B 的方向)有  ( ) ( )    + =  +  L P x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt   ( , ) ( , ) ( ),( )  ( ) ( ),( ) ( ) . (证略) 注：起点参数值作下限，终点参数值作上限． 例 1 计算 ( )  + − L xydx y x dy ,其中 L 分别沿以下路线从点 A(1,1) 到点 B(2,3), ⅰ）直线 AB ； ⅱ）抛物线 ACB： 2( 1) 1 2 y = x − + ； ⅲ）三角形周界 ADBA ． 解 ⅰ）直线 AB :       = + = + 0,1 1 2 , 1 , t y t x t