x=y-∑aa,y, 3=2, Ix=y. 则它是非退化线性替换，且使 )=a+22 由归纳假设对∑∑6，y,有非退化线性替换 五 3=C2y+C++Cn》a 。 =Cn2y2 +Cm3y3+.+Cmy 使它化为平方和。d,子+d,子+.+d于是，非退化线性替换 53=C22乃2+.+C2myn Cw22++Cmy 就使得 fx,x,.,xn)=a+d2+.+dn 由归纳法原理此时定理得证 2).所有a=0.但至少有一个4，≠0，不妨设a2≠0.令 [x=1+ x3=-2 3=5 (X=5 它是非退化线性替换且使 f,x,.,xn)=2a253+.=2a(+2-)+.2a2-2a2号+， 上式右端是，2，.，二n的元二次型，且：子的系数不为零，化为第一种情形，故定理成立 3).41=a2=.=an=0. 1 1 1 11 1 2 2 2 , , , n j j j n n x y a a y x y x y − =  = −     =    =  则它是非退化线性替换,且使 2 1 2 11 1 2 2 ( , , , ) n n n ij i j i j f x x x a y b y y = = = +  . 由归纳假设,对 2 2 n n ij i j i j b y y = =  有非退化线性替换 2 22 2 23 3 2 3 32 2 33 3 3 2 2 3 3 , , , n n n n n n n nn n z c y c y c y z c y c y c y z c y c y c y  = + + +   = + + +     = + + + 使它化为平方和. 2 2 2 2 2 3 3 . n n d z d z d z + + + 于是,非退化线性替换 2 1 3 22 2 2 2 2 , , n n n n nn n z y z c y c y z c y c y  =   = + +     = + + 就使得 2 2 2 1 2 11 1 2 2 ( , , , ) n n n f x x x a z d z d z = + + + 由归纳法原理.此时定理得证. 2).所有 0 ii a = .但至少有一个 1 0 j a  ,不妨设 12 a  0.令 1 1 2 2 1 2 3 3 . n n x z z x z z x z x z  = +  = −    =    =  它是非退化线性替换.且使 1 2 12 1 2 ( , , , ) 2 n f x x x a x x = + 12 1 2 1 2 = + − + 2 ( )( ) a z z z z 2 2 12 1 12 2 2 2 , a z a z − + 上式右端是 1 2 , , , n z z z 的元二次型,且 2 1 z 的系数不为零,化为第一种情形,故定理成立. 3). 11 12 1 0. n a a a = = = =