此时由对性有=4=.=0=0放化，)-20，它是一个n-l元二次 型由归纳假设定理得证（此化法称为配方法） 易知.二次型(1)的矩阵为对角矩阵 d0.0 0d2.0 00.dn 因此用矩阵的语言，定理1可叙述为 定理2数域P上任一对称矩阵都合同于一个对角矩阵 定义1二次型f八，X2,x)经过非退化线性替换化成的平方和称为它的一个标准形 问题二次型的标准形唯一吗？ 例1化二次型为标准形f八xxx)=2x书-6x,+2x书 解依次作三次非退化线性替换 名=乃+乃 =+ 52=, 5=乃-片， 乃=53 53=%2+2 =⅓， =3, 33=w 得 fxx)=2(0y+y-)-6-)y+20y-y=20y-⅓)2-2y-2y+8yy =2-2+8=25-2=2-2(52-2-)2+8Ξ-2 =2-2(32-23)}+6=22-2m+6w 总的线性替换为 x)110101100）113 x1-10010012%1-1-1% (x(001八001八001八%001八， 前面所讲的配方法的过程，可以用矩阵写出来下面按每一种情况写出相应的矩阵 1.4,≠0，此时的线性替换为 x=y-∑aavy x3=, x =y此时由对称性有 21 31 1 0. n a a a = = = = ,故 1 2 2 2 ( , , , ) n n n ij i j i j f x x x a x x = = =  .它是一个 n−1 元二次 型.由归纳假设.定理得证(此化法称为配方法) 易知,二次型(1)的矩阵为对角矩阵 1 2 0 0 0 0 0 0 n d d d             因此,用矩阵的语言,定理 1 可叙述为 定理 2 数域 P 上任一对称矩阵都合同于一个对角矩阵. 定义 1 二次型 1 2 ( , , , ) n f x x x 经过非退化线性替换化成的平方和称为它的一个标准形. 问题 二次型的标准形唯一吗? 例 1 化二次型为标准形 1 2 3 1 2 2 3 1 3 f x x x x x x x x x ( ) 2 6 2 = − + 解 依次作三次非退化线性替换 1 1 2 2 1 2 3 3 , , x y y x y y x y  = +   = −   = 1 1 3 2 2 3 3 , , y z z y z y z  = +   =   = 2 1 3 2 3 3 3 , 2 z w z w w z w  =   = +   = 得 222 1 2 3 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 1 3 3 2 2 3 f x x x y y y y y y y y y y y y y y y y ( ) 2( )( ) 6( ) 2( ) 2( ) 2 2 8 = + − − − + − = − − − + 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 3 3 1 2 3 3 3 = − + − = − − + − 2 2 8 2 2 2( 2 ) 8 2 z z z z z z z z z z 2 2 2 2 2 2 1 2 3 3 1 2 3 = − − + = − + 2 2( 2 ) 6 2 2 6 . z z z z w w w 总的线性替换为 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 3 1 1 0 0 1 0 0 1 2 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 x w w x w w x w w                         = − = − −                                     前面所讲的配方法的过程，可以用矩阵写出来.下面按每一种情况写出相应的矩阵. 1. 11 a  0 ,此时的线性替换为 1 1 1 11 1 , 2 2 2 , . n j j j n n x y a a y x y x y − =  = −     =    = 