教学目标掌握二次型的标准形的概念；会用配方法求二次型的标准形 教学重点：用配方法求二次型的标准形. 教学方法讲授法 教学过程 本节讨论用非退化线性替换化简二次型的问题何谓最简单的二次型？一般而言，就是只含平方次 的二次型 f(.x)=dxi+d++dx2 我们有 定理1数域P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化为1)的形式 证明对n作归纳法n=I时结论显然成立.假设对n-1元二次型结论成立.下面看n元二次型的 情形设 fx,.,x)=Σa,xxa,=0) 分三种情形讨论： 1).a=l,2,.,m)中至少有一个不为零，不妨设a1≠0.此时 6=a+2a+2a+22q -4f+24+22 -a+aia-(ap +a =a+2aia广+22 其中 22=-ga+2a 是一个x2,.,x的n-1元二次型.令教学目标: 掌握二次型的标准形的概念；会用配方法求二次型的标准形. 教学重点: 用配方法求二次型的标准形. 教学方法: 讲授法. 教学过程: 本节讨论用非退化线性替换化简二次型的问题.何谓最简单的二次型?一般而言,就是只含平方次 的二次型 2 2 2 1 2 1 1 2 2 ( , , , ) n n n f x x x d x d x d x = + + + (1) 我们有 定理 1 数域 P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化为(1)的形式. 证明 对 n 作归纳法. n =1 时结论显然成立.假设对 n−1 元二次型结论成立.下面看 n 元二次型的 情形.设 1 2 1 1 ( , , , ) ( ) n n n ij i j ij ji i j f x x x a x x a a = = = =   . 分三种情形讨论: 1). ( 1,2, , ) ii a i n = 中至少有一个不为零,不妨设 11 a  0 .此时 2 1 2 11 1 1 1 1 2 2 2 2 ( , , , ) n n n n n j j i i j ij i j j i i j f x x x a x a x x a x x a x x = = = = = + + +    2 11 1 1 1 2 2 2 2 n n n j j ij i j j i j a x a x x a x x = = = = + +   1 2 1 2 11 1 11 1 11 1 2 2 2 2 ( ) ( ) n n n n j j i j ij i j j j i j a x a a x a a x a x x − − = = = = = + − +    1 2 11 1 11 1 2 2 2 ( ) , n n n j j ij i j j i j a x a a x b x x − = = = = + +   其中 1 2 11 1 2 2 2 2 2 ( ) n n n n n ij i j j j ij i j i j j i j b x x a a x a x x − = = = = =    = − + 是一个 2 , , n x x 的 n−1 元二次型.令