《数学分析》教案 第七章实数的完备性 海南大学数学系 说明当a,b]改为a,b)时，或者H不是开覆盖时，有限覆盖定理的结论不一定 成立例如： H3导 H是开区间(0,1)的一个无限开覆盖，但不能由此产生(0,1)的有限覆盖。 H是[0,2]的一个无限覆盖，但不是开覆盖，由此也无法产生0,2]的有限覆盖 *(五)用有限覆盖定理证明聚点定理 设8为实轴上的有界无限点集，并设8c-M,M] 【”由反证法假设来构造[-M,M]的一个无限开覆盖：若S有聚点之，则 -M,M],现反设[-M,M]中任一点都不是的聚点，即xM,M)34>0, 在x:4)内至多只有xe8.这样， H-{U(x;4川x∈【M,M]) 就是[-M,M]的一个无限开覆盖. 2”用有限覆盖定理导出矛盾：据定理9，存在 产-(U(x;i-1,2.,NcH, 户为-M,M]的一个有限开覆盖（同时也覆盖了S).由假设，川x:4内至多只 有为∈S一丹所属N个邻城内至多只有西.，w属于8（即庄只覆盖了S中有限个 点)·这与户覆盖了全部S中无限多个点相矛盾. 所以，有界无限点集S必定至少有一个聚点，[ 推论（致密性定理）有界数列必有收敛子列.即若{4，}为有界数列，则 引ac(a,使有熙a 子列aJ的极限称为原数列a,小的一个极限点，或称聚点 《数学分析》教案 第七章 实数的完备性 海南大学数学系 4 说明 当 改为 时，或者 不是开覆盖时，有限覆盖定理的结论 不一定 成立.例如： 1) ． 是开区间 的一个无限开覆盖，但不能由此产生 的有限覆盖． 2) ． 是 的一个无限覆盖，但不是开覆盖，由此也无法产生 的有限覆盖． *(五) 用有限覆盖定理证明聚点定理 设 为实轴上的有界无限点集，并设 ． 由反证法假设来构造 的一个无限开覆盖：若 有聚点 ，则 ．现反设 中任一点都不是 的聚点，即 在 内至多只有 ．这样， 就是 的一个无限开覆盖． 用有限覆盖定理导出矛盾：据定理 9，存在 为 的一个有限开覆盖（同时也覆盖了 ）．由假设， 内至多只 有 所属 个邻域内至多只有 属于 （即 只覆盖了 中有限个 点）．这与 覆盖了全部 中无限多个点相矛盾． 所以，有界无限点集 必定至少有一个聚点．［ 推论（致密性定理） 有界数列必有收敛子列．即若 为有界数列，则 使有 ． 子列 的极限 称为原数列 的一个极限点，或称聚点