《数学分析》教案 第七章实数的完备性 海南大学数学系 用区间套定理证明其他命题时，最后常会用到这个推论 (三)用区间套定理证明确界原理 证明思想构造一个区间套，使其公共点即为数集的上确界。 设S8,有上男M.取而8令[o-(0,自a1+b再令 【a,1-a,1若是的上果 [c1,b1],若c1不是S的上界； 如此无限进行下去，得一区间套【a,b)→3n[a,b如1，”=，2，. 可证习-即8，因，恒为的上界，且，”，故xe8,必有 x≤bn白x≤n 这说明”是8的上界：又因an7,故8>0,3am>n-8,而m都不是8的 上界，因此”8更不是8的上界.所以”=即8成立. *(四)用区间套定理证明有限覆盖定理 设H为闭区间a,b]的一个无限开覆盖。反证法假设： “[a,b]不能用H中有限个开区间来覆盖”· 对a,b]果用逐次二等分法构造区间套a,么】，【a,点]的选择法则：取“不 能用H中有限个开区间来覆盖”的那一半 由区间套定理，3[a,8]”=12.导出矛盾： e[a,b],3（出列eH,使e〔，) 记6”m(六出月)0由[推论]，当足够大时， [a,b]cU(点sc(x) 这表示a,6]用H中一个开区间（心）就能覆盖，与其选择法则相违背.所以 [a,b]必能用H中有限个开区间来覆盖，《数学分析》教案 第七章 实数的完备性 海南大学数学系 3 用区间套定理证明其他命题时，最后常会用到这个推论． (三) 用区间套定理证明确界原理 证明思想 构造一个区间套，使其公共点即为数集的上确界． 设 , 有上界 ．取 ； ，再令 如此无限进行下去，得一区间套 ． 可证 ：因 恒为 的上界，且 ，故 ，必有 ， 这说明 是 的上界；又因 ，故 ，而 都不是 的 上界，因此 更不是 的上界．所以 成立． *(四) 用区间套定理证明有限覆盖定理 设 为闭区间 的一个无限开覆盖．反证法假设： “ 不能用 中有限个开区间来覆盖”． 对 采用逐次二等分法构造区间套 ， 的选择法则：取“不 能用 中有限个开区间来覆盖”的那一半． 由区间套定理， ．导出矛盾： 使 . 记 由［推论］，当 足够大时， 这表示 用 中一个开区间 就能覆盖，与其选择法则相违背．所以 必能用 中有限个开区间来覆盖