《数学分析》教案 第七章实数的完备性 海南大学数学系 数列(4)的聚点与一般点集S的聚点，含义稍有不同.数列的聚点定义为：“H6>0, 在八点)内含有(4)中无限多个项，则为(，)的一个聚点.”在此意义下，对于数 列 o1分1安1安1 1 1 它有两个收敛子列：44-1和“2，”=12.它们的极限片=1和5=0就是 (a,)的两个聚点. *(六)用聚点定理证明柯西准则 柯西准则的必要性容易由数列收敛的定义直接证得。 (已知(a,)收敛，设a,a.由定义，Ye>0日NeN,当A>N时，有 a水管6a水台 从而有 la.-a,Isla,-al+la,-al<5. 这里只证其充分性。 已知条件：>03NeN,当、m>N时a,K.欲证(a,J收敛 ”.首先证(a,)有界.对于-13eN,当2从，m-从时，有 |a.-aw≤aw-a.K1→la,s am+1 令M=mla川马l.e-川ax+,则有 |a.|≤M,n-1,2,. 2.由致密性定理，(a,}存在收敛子列a,设职a 子.最后证职aa,由条件，V》0,3X(2N当mm2K时，有 la.-a<an -a 于是当n之X(同时有2)K)时，就有《数学分析》教案 第七章 实数的完备性 海南大学数学系 5 数列 的聚点与一般点集 的聚点，含义稍有不同．数列的聚点定义为：“ ， 在 内含有 中无限多个项，则 为 的一个聚点．”在此意义下，对于数 列 它有两个收敛子列: 和 ， ．它们的极限 和 就是 的两个聚点． *(六) 用聚点定理证明柯西准则 柯西准则的必要性容易由数列收敛的定义直接证得. （已知 收敛，设 ．由定义， ，当 时，有 ． 从而有 ．） 这里只证其充分性． 已知条件： 当 时 ．欲证 收敛． ．首先证 有界．对于 当 时，有 令 ，则有 ． ．由致密性定理， 存在收敛子列 ，设 ． ．最后证 ，由条件， 当 时，有 ． 于是当 （同时有 ）时，就有