《数学分析》教案 第七章实数的完备性 海南大学数学系 la,-alsla,-ax l+aw-a+ *(七)用柯西准则证明单调有界原理 设{a,)为一递增且有上界M的数列.用反证法（借助柯西准则）可以证明：俏 若(a)无极限，则可找到一个子列a:】以+⊙为广义极限，从而与(a】有上界相矛 盾。现在来构造这样的a,】 对于单调数列{a,),柯西条件可改述为：“e>0,3NeN,当n>W时，满 足aa<8”,这是因为它同时保证了对一切n>加>N,恒有 lan-as an-anl<e 倘若(a}不收敛，由上述柯西条件的否定陈述：30>0，对一切N∈N,3>N 使 am-aN=aa-aN之0 依次取 2M=1,31>M,使am1a1280: 2W2=m1,3N2>N2,使an2-a1280; 2N-BkH,3nk〉Nk,使akat之80 把它们相加，得到 ans-a12 keo t)4-a 故当 90时，可使“：>M,矛盾.所以单调有界数列(a,)必定有极限。【证 毕] 在以上六个等价命题中，最便于推广至R“中点集的，当属聚点定理与有限覆盖定 理，为加深对聚点概念的认识，下例所讨论的问题是很有意义的 例证明“是点集$的聚点”的以下三个定义互相等价： ①)Y8)0,在U(兰：司内含有5中无限多个点（原始定）： 《数学分析》教案 第七章 实数的完备性 海南大学数学系 6 ． *(七) 用柯西准则证明单调有界原理 设 为一递增且有上界 M 的数列．用反证法（ 借助柯西准则 ）可以证明：倘 若 无极限，则可找到一个子列 以 为广义极限，从而与 有上界相矛 盾．现在来构造这样的 ． 对于单调数列 ，柯西条件可改述为：“ 当 时，满 足 ”．这是因为它同时保证了对一切 ，恒有 ． 倘若 不收敛，由上述柯西条件的否定陈述： ，对一切 ， ， 使 ． 依次取 把它们相加,得到 ． 故当 时，可使 ，矛盾．所以单调有界数列 必定有极限．[ 证 毕 ] 在以上六个等价命题中，最便于推广至 中点集的，当属聚点定理与有限覆盖定 理．为加深对聚点概念的认识，下例所讨论的问题是很有意义的． 例 证明“ 是点集 的聚点”的以下三个定义互相等价： (i) 内含有 中无限多个点(原始定义)；