地线性表示,求k。 10.已知两个n维向量组a1,a2,…,an和b,b2,…,bn。证明:若存在两组不 全为零的数A1,A2,…,况n和A1,2,…,μn使得 (1+Ha1+(2+{2)a2+…+(m+Hn)an +(41-)b1+(2-H2)b2+…+(m-Hn)bn=0, 则a1+b,a2+b2,…,an+bn,a1-b1,a2-b2,…,an-b线性相关。 11.设a1,a2…,an是n维向量组,A是mXn矩阵。证明:若a1,a2,…,an线 性相关,则Aa1,Aa2,…,Aan也线性相关。 12.已知向量b可由a1,a2,…,an线性表示,但不能被a1,a2,…,am1线性表 示。证明:a灬不能被a1,a2,…,an1线性表示,但能被a1,a2,…,an1,b线性 表示 13.设a1,a2,…,an是n个n维向量,证明:a1,a2,…,an线性无关的充分必 要条件是任何n维向量都可以被它们线性表示。 14.设有向量组a1,a2,…,an,其中任意m-1个向量都线性无关。证明:等式 x a=0 中的系数x1,x2,…,xn或者全为零,或者全不为0 15.证明:线性方程组 xn=b a2r-x,+a22x2+.+a2n,=b2 对于任何b,b2,…b都有解的充分必要条件是其系数行列式不等于0 16.设A为m×n矩阵,B为n×p矩阵。若AB=C,且矩阵C的行向量线性无 关,证明A的行向量也线性无关 17·设a,a2…an都是非零向量。证明:若每个a(1<j≤m)都不能由 a2,…,a=线性表示,则a1,a2,…,an线性无关 18.设a1,a2,…,a,是线性方程组Ax=0的r个线性无关的解。而向量b不是该 方程的解,即Ab≠0。证明:向量组b,b+a1b+a2,…,b+a线性无关 19.证明:n个维列向量a,a2…,an线性无关的充分必要条件是: ≠0 na, an a,anI §2秩 1.求下列矩阵的秩地线性表示，求 k 。 10．已知两个 n 维向量组 a a am , , , 1 2  和 b b bm , , , 1 2  。证明：若存在两组不 全为零的数    m , , , 1 2  和    m , , , 1 2  使得 ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 b b b 0 a a a               m m m m m m               则 a  b a  b am  bm a  b a  b am  bm , , , , , , , 1 1 2 2  1 1 2 2  线性相关。 11．设 a a am , , , 1 2  是 n 维向量组， A 是 mn 矩阵。证明：若 a a am , , , 1 2  线 性相关，则 Aa Aa Aam , , , 1 2  也线性相关。 12．已知向量 b 可由 a a am , , , 1 2  线性表示，但不能被 1 2 1 , , , a a  am 线性表 示。证明： m a 不能被 1 2 1 , , , a a  am 线性表示，但能被 a1 , a2 ,  , am1 , b 线性 表示。 13．设 a a an , , , 1 2  是 n 个 n 维向量，证明： a a an , , , 1 2  线性无关的充分必 要条件是任何 n 维向量都可以被它们线性表示。 14．设有向量组 a a am , , , 1 2  ，其中任意 m 1 个向量都线性无关。证明：等式 x1a1  x2a2  xmam  0 中的系数 m x , x , , x 1 2  或者全为零，或者全不为 0。 15．证明：线性方程组                    n n n n n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 , , 对于任何 b b bn , , , 1 2  都有解的充分必要条件是其系数行列式不等于 0。 16．设 A 为 mn 矩阵， B 为 n  p 矩阵。若 AB  C ，且矩阵 C 的行向量线性无 关，证明 A 的行向量也线性无关。 17．设 a a am , , , 1 2  都是非零向量。证明：若每个 a j （ 1 j  m ）都不能由 1 2 1 , , , a a  a j 线性表示，则 a a am , , , 1 2  线性无关。 18．设 a a ar , , , 1 2  是线性方程组 Ax  0 的 r 个线性无关的解。而向量 b 不是该 方程的解，即 Ab  0 。证明：向量组 b b  a b  a b  ar , , , , 1 2  线性无关。 19．证明： n 个 n 维列向量 a a an , , , 1 2  线性无关的充分必要条件是： 0 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1  n T n T n T n n T T T n T T T a a a a a a a a a a a a a a a a a a        。 §2 秩 1．求下列矩阵的秩：