224 金融工程 点处有两个值,上面一个表示股票价格,下面一个表示期权价值。股价上涨概率 总是等于0.5076,下降概率总是等于0.4924 在i△t时刻,股票在第j个节点(j=0,1,…,的价格等于Svd“。例如,F 节点(i=4,=1)的股价等于50×1.1224×0.8909=39,69元。在最后那些节 点处,期权价值等于max(X-Sx,0)。例如,节点(=5,j=1)的期权价格等于 50-35.36=14.64元 从最后一列节点处的期权价值可以计算出倒数第二列节点的期权价值。首 先,假定在这些节点处期权没被提前执行。这意味着所计算的期权价值是△时间 内期权价值期望值的现值。例如,E节点(i=4,j=2)处的期权未被执行时的期权 价值等于 (0.5076×0+0.4924×5.45)e13=2.66(元) 而F节点处期权未被执行时的期权价值等于 (0.5076×5.45+0.4924×14.64)e01×03=9,90(元) 然后,要检查提前执行期权是否较有利在E节点,提前执行将使权价值 为0,因为股票市价和协议价格都等于50,显然不应提前执行。因此,E节点的期 权价值应为2.66元。而在F节点,如果提前执行,期权价值等于50.00,39.69 元,为10.31元,大于上述的9.90元。因此,若股价到达F节点,就应提前执行 期权,从而F节点上的期权价值应为10.31元,而不是9.90元 用相同的方法可以算出各节点处的期权价值,并最终倒推算出初始节点处 的期权价值为4.48元 如果把期权有效期分成更多小时段,节点数会更多,计算会更复杂,但得出 的期权价值会更精确。当△t非常小时,期权价值等于4.29元 (五)二叉树方法的一般定价过程 下面给出用数学符号表示的二叉树期权定价方法,仍然以无收益证券的美式看 跌期权为例。假设把该期权有效期划分成N个长度为△t的小区间,令f(0≤运≤ N,0≤j≤i)表示在时间it时第j个节点处的美式看跌期权的价值,将f称为节点 (i,j)的期权价值。同时,用Snd表示节点(i,y)处的证券价格。由于美式看跌期 权在到期时的价值是max(X-Sr,0),所以有 f=max(X-Sad-,0),式中j=0,1,…,N 假定在风险中性世界中从节点(,)移动到节点(i+1,+1)的概率为p移动到 (i+1,j)的概率为1一p。假定期权不被提前执行,则节点(,)的期权价值为: f。=e[pf41,+1+(1-p)f+1,] 式中,0≤i≤N-1,0≤j≤i。由于美式期权有可能被提前执行,因此式中这样求出的 f必须与该节点提前执行期权的收益(X-Sud-)比较,并取两者中的较大者