·506· 智能系统学报 第12卷 2语言真值直觉模糊对之间的归一化 (h.,f))之间的距离最大，即 距离及正、负理想点 du(((h,t),(h,A)),((hi,t),(hi,A)))= n-1+ln-1_2m-2-1 为进行语言真值直觉模糊格上方案的排序，借 2n-2 2n-2 鉴TOPSIS方法的思想，需计算各方案与正、负理想 因此，0≤dur((h,t),(h,f)),((h,t), 点之间的距离，因此，下面提出了语言真值直觉模 (h,f)))≤1。 糊正、负理想点及语言真值直觉模糊对之间的归一 2)对任意((h,t),(h,f)),(h4,t),(h, 化距离。 f))∈L山2m,由定义3可得，两个语言真值直觉模糊对 定义3对任意(h:,t),(h,f)),(h:,t), 之间的归一化距离为 (u,f))∈山，定义语言真值直觉模糊对((h:,t), dur(((h,t),(h,f)),((h,t),(h,fD))= (h,f月)和(h,t),(h,f月)之间的归一化距离为 li-k|+j-l川 dur(((h,t),(h,f)),（(hk,t),(h,f)))= 2n-2 1i-k|+j-川 dur(((h:,1),(h,f)),((h,t),(h, 2n-2 f月)=0，则i=k,j=l,即(h,t),(h,f))=((hk, 例1在十元语言真值直觉模糊格上，两个语 t),(hi,f))o 言真值直觉模糊对((h,t),(h1,f))和(h3,t), 若(h,t),(h,f月))=（(h4,t),(h,f)), (h4,))之间的归一化距离为 则dur((h,t),(h,),(h,t),(h,f)= dur(((h,t),(h,f月)，(h3,t),(h4,fD)= dus((h:,t),(h,f)),(h,t),(h,f))= 11-3|+11-4|5 =8 i-+ll=0。 P 2n-2 定理2对任意的((h:,t),(h,f)),((hk, 3)根据定义3可知： t),(h,f),(h。t),(h,f)e山a,具有如下 dur((h:,t),(h,f)),(hk,t),(h,f)))= 性质： li-k+lj- 1)0≤dur((h:,t),(h,f)),((h,t),(h, 2n-2 f月))≤1： dur((he,t),(h,f)),((h:,t),(h,fD)= 2)dur(h,t),(h,fD),(hk,t),(h,f))=0 lk-il+l-jl 2n-2 当且仅当(h,t),(h,f))=(h,t),(h,f)): 因为1i-k1=1k-i1,j-l1=1l-j1,所以， 3)dr((h,t),(h,f)),(h,t),(h,f月))= du(h,t),(h,f),(h,t),(h,f))= dur((h,t),(h,fD),((h:,t),(h,f))); dur((h,t),(h,f月)，(h:,t),(h,f)。 4)若((h:,t),(h,f月)≥((h,t),(h,f月)≥ 4)对任意(h:,t),(h,f)),(h,t),(h, ((hp,t),(h,f)),则有dur(((h:,t),(h,f)), f刀)，(h。,t),(h,f)e山，由定义3可得： (h。,t),(h,f)≥dur(h,t),(h,f)), dr((h,t),(h,f)),((hp,t),(h,f月)= ((h,t),(h,f)))du(((h,t),(h.f)), li-p+j-ql=(i+》-p+9) ((h,t),(h,f)))du(((h,t),(h,f)), 2n-2 2n-2 ((hp,t),(h,f月)。 dur(((h:,t),(h,f)),((hk,t),(h,f)))= 证明1在2n元语言真值直觉模糊格上，由推 i-k+U-=位+》-(k+) 论2可知，((h,t),(h,f))与((hn,t),(hn,f月) 2n-2 2n-2 分别是最小值与最大值： dur((h,t),(h,f)),((h,t),(h,f)))= 由定义3可知，任意一个语言真值直觉模糊对 k-p+1-9-&+)-+9) 与本身之间的距离最小，即 2n-2 2n-2 dur((h,t),(h,f)),(h:,t),(h,f月)= 若(h,t),(h,f))≥(hk,t),(h,f)≥ i-训+j-=0 ((hp,t),(hg,fD）, 2n-2 则有i≥k≥p且j≥l≥q,所以i+j≥k+l≥p+q, 最小值((h,t),(h,f))与最大值((hn,t), 且(tj)-(p+q)≥(i+j)-(k+l),(i+j)-(p+q）≥２ 语言真值直觉模糊对之间的归一化 距离及正、负理想点 为进行语言真值直觉模糊格上方案的排序，借 鉴 ＴＯＰＳＩＳ 方法的思想，需计算各方案与正、负理想 点之间的距离，因此，下面提出了语言真值直觉模 糊正、负理想点及语言真值直觉模糊对之间的归一 化距离。 定义 ３ 对任意（（ ｈｉ， ｔ），（ ｈｊ， ｆ）），（（ ｈｋ， ｔ）， （ｈｌ， ｆ））∈ＬＩ２ｎ ，定义语言真值直觉模糊对（（ｈｉ， ｔ）， （ｈｊ， ｆ））和（（ｈｋ， ｔ），（ｈｌ， ｆ））之间的归一化距离为 ｄＬＩＦ（（（ｈｉ， ｔ），（ｈｊ， ｆ）），（（ｈｋ， ｔ），（ｈｌ， ｆ））） ＝ ｉ － ｋ ＋ ｊ － ｌ ２ｎ － ２ 例 １ 在十元语言真值直觉模糊格上，两个语 言真值直觉模糊对（（ｈ１ ， ｔ），（ｈ１ ， ｆ））和（（ｈ３ ， ｔ）， （ｈ４ ， ｆ））之间的归一化距离为 ｄＬＩＦ（（（ｈ１ ， ｔ），（ｈ１ ， ｆ）），（（ｈ３ ， ｔ），（ｈ４ ， ｆ））） ＝ １ － ３ ＋ １ － ４ ８ ＝ ５ ８ 定理 ２ 对任意的（（ ｈｉ， ｔ），（ ｈｊ， ｆ）），（（ ｈｋ， ｔ），（ｈｌ， ｆ））， （（ ｈｐ ｔ）， （ ｈｑ， ｆ）） ∈ ＬＩ２ｎ ，具有如下 性质： １）０≤ｄＬＩＦ （（（ ｈｉ， ｔ），（ ｈｊ， ｆ）），（（ ｈｋ， ｔ），（ ｈｌ， ｆ）））≤１； ２）ｄＬＩＦ（（（ｈｉ， ｔ），（ｈｊ， ｆ）），（（ｈｋ， ｔ），（ｈｌ， ｆ）））＝ ０ 当且仅当（（ｈｉ， ｔ），（ｈｊ， ｆ））＝ （（ｈｋ， ｔ），（ｈｌ， ｆ））； ３）ｄＬＩＦ（（（ｈｉ， ｔ），（ｈｊ， ｆ）），（（ｈｋ， ｔ），（ｈｌ， ｆ）））＝ ｄＬＩＦ（（（ｈｋ， ｔ），（ｈｌ， ｆ）），（（ｈｉ， ｔ），（ｈｊ， ｆ）））； ４）若（（ｈｉ， ｔ），（ｈｊ， ｆ））≥（（ｈｋ， ｔ），（ｈｌ， ｆ））≥ （（ｈｐ， ｔ），（ ｈｑ， ｆ）），则有 ｄＬＩＦ（（（ ｈｉ， ｔ），（ ｈｊ， ｆ））， （（ｈｐ， ｔ）， （ ｈｑ， ｆ））） ≥ ｄＬＩＦ （（（ ｈｉ， ｔ）， （ ｈｊ， ｆ））， （（ｈｋ， ｔ）， （ ｈｌ， ｆ））） 且 ｄＬＩＦ （（（ ｈｉ， ｔ）， （ ｈｊ， ｆ））， （（ｈｐ， ｔ）， （ ｈｑ， ｆ））） ≥ ｄＬＩＦ （（（ ｈｋ， ｔ）， （ ｈｌ， ｆ））， （（ｈｐ， ｔ），（ｈｑ， ｆ）））。 证明 １ 在 ２ｎ 元语言真值直觉模糊格上，由推 论 ２ 可知，（（ｈ１ ， ｔ），（ｈ１ ， ｆ））与（（ｈｎ ， ｔ），（ｈｎ ， ｆ）） 分别是最小值与最大值； 由定义 ３ 可知，任意一个语言真值直觉模糊对 与本身之间的距离最小，即 ｄＬＩＦ（（（ｈｉ， ｔ），（ｈｊ， ｆ））， （（ｈｉ， ｔ），（ｈｊ， ｆ））） ＝ ｉ － ｉ ＋ ｊ － ｊ ２ｎ － ２ ＝ ０ 最小值（（ｈ１ ， ｔ），（ｈ１ ， ｆ））与最大值（（ｈｎ ， ｔ）， （ｈｎ ， ｆ））之间的距离最大，即 ｄＬＩＦ（（（ｈｎ ， ｔ），（ｈｎ ， ｆ）），（（ｈ１ ， ｔ），（ｈ１ ， ｆ））） ＝ ｎ － １ ＋ ｎ － １ ２ｎ － ２ ＝ ２ｎ － ２ ２ｎ － ２ ＝ １ 因此，０≤ｄＬＩＦ （（（ ｈｉ， ｔ），（ ｈｊ， ｆ）），（（ ｈｋ， ｔ）， （ｈｌ， ｆ）））≤１。 ２）对任意（（ ｈｉ， ｔ），（ ｈｊ， ｆ））， （（ ｈｋ， ｔ）， （ ｈｌ， ｆ））∈ＬＩ２ｎ ，由定义 ３ 可得，两个语言真值直觉模糊对 之间的归一化距离为 ｄＬＩＦ（（（ｈｉ， ｔ），（ｈｊ， ｆ）），（（ｈｋ， ｔ），（ｈｌ， ｆ））） ＝ ｉ － ｋ ＋ ｊ － ｌ ２ｎ － ２ 若 ｄＬＩＦ （（（ ｈｉ， ｔ）， （ ｈｊ， ｆ））， （（ ｈｋ， ｔ）， （ ｈｌ， ｆ）））＝ ０，则 ｉ ＝ ｋ，ｊ ＝ ｌ，即（（ ｈｉ， ｔ），（ ｈｊ， ｆ）） ＝ （（ ｈｋ， ｔ），（ｈｌ， ｆ））。 若（（ｈｉ， ｔ），（ｈｊ， ｆ））＝ （（ｈｋ， ｔ），（ｈｌ， ｆ））， 则 ｄＬＩＦ（（（ｈｉ， ｔ），（ｈｊ， ｆ）），（（ｈｋ， ｔ），（ｈｌ， ｆ）））＝ ｄＬＩＦ（（（ ｈｉ， ｔ ）， （ ｈｊ， ｆ ））， （（ ｈｉ， ｔ ）， （ ｈｊ， ｆ ））） ＝ ｉ－ｉ ＋ ｊ－ｊ ２ｎ－２ ＝０。 ３）根据定义 ３ 可知： ｄＬＩＦ（（（ｈｉ， ｔ），（ｈｊ， ｆ）），（（ｈｋ， ｔ），（ｈｌ， ｆ）））＝ ｉ－ｋ ＋ ｊ－ｌ ２ｎ－２ ； ｄＬＩＦ（（（ｈｋ， ｔ），（ｈｌ， ｆ）），（（ｈｉ， ｔ），（ｈｊ， ｆ）））＝ ｋ－ｉ ＋ ｌ－ｊ ２ｎ－２ ； 因为 ｜ ｉ － ｋ ｜ ＝ ｜ ｋ － ｉ ｜ ， ｜ ｊ － ｌ ｜ ＝ ｜ ｌ － ｊ ｜ ， 所以， ｄＬＩＦ（（（ｈｉ， ｔ）， （ ｈｊ， ｆ ））， （（ ｈｋ， ｔ ）， （ ｈｌ， ｆ ））） ＝ ｄＬＩＦ（（（ｈｋ， ｔ），（ｈｌ， ｆ）），（（ｈｉ， ｔ），（ｈｊ， ｆ）））。 ４） 对任意（ ｈｉ， ｔ）， （ ｈｊ， ｆ））， （（ ｈｋ， ｔ）， （ ｈｌ， ｆ）），（（ｈｐ， ｔ），（ｈｑ， ｆ））∈ＬＩ２ｎ ，由定义 ３ 可得： ｄＬＩＦ（（（ｈｉ， ｔ），（ｈｊ， ｆ）），（（ｈｐ， ｔ），（ｈｑ， ｆ））） ＝ ｉ － ｐ ＋ ｊ － ｑ ２ｎ － ２ ＝ (ｉ ＋ ｊ) － (ｐ ＋ ｑ) ２ｎ － ２ ｄＬＩＦ（（（ｈｉ， ｔ），（ｈｊ， ｆ）），（（ｈｋ， ｔ），（ｈｌ， ｆ））） ＝ ｉ － ｋ ＋ ｊ － ｌ ２ｎ － ２ ＝ (ｉ ＋ ｊ) － (ｋ ＋ ｌ) ２ｎ － ２ ｄＬＩＦ（（（ｈｋ， ｔ），（ｈｌ， ｆ）），（（ｈｐ， ｔ），（ｈｑ， ｆ））） ＝ ｋ － ｐ ＋ ｌ － ｑ ２ｎ － ２ ＝ (ｋ ＋ ｌ) － (ｐ ＋ ｑ) ２ｎ － ２ 若（（ ｈｉ， ｔ），（ ｈｊ， ｆ）） ≥（（ ｈｋ， ｔ），（ ｈｌ， ｆ）） ≥ （（ｈｐ， ｔ），（ｈｑ， ｆ））， 则有 ｉ≥ｋ≥ｐ 且 ｊ≥ｌ≥ｑ，所以 ｉ＋ｊ≥ｋ＋ｌ≥ｐ＋ｑ， 且（ｉ＋ｊ）－（ｐ＋ｑ） ≥（ ｉ＋ｊ） －（ ｋ＋ｌ），（ ｉ＋ｊ） －（ ｐ＋ｑ） ≥ ·５０６· 智 能 系 统 学 报 第 １２ 卷