cos(x-2y)+2ysin( x-2y) x dy 丌(4-7) 例3计算函数M=x+sn2+eF的全微分 A 所求全微分d=d+(cos2+2e2)h+ye止 (x,y)≠(00) 例4试证函数f(x,y)= 在点(0,0)连续且偏 0 (x,y)=(0,0) 导数存在,但偏导数在点(00)不连续,而∫在点(0,0)可微 思路:按有关定义讨论;对于偏导数需分(x,y)≠(0,0),(x,y)=(0,0)讨论 证令 则 lim xysn lim p sin 0 cos0.sin -=0=f(0, 0) (x,y)→(0,0) 故函数在点(0,0)连续 f(Ax0)-f(0,0) 0-0 f1(0.0)=Iin lim 同理f(0.0)=0 当(x,y)≠(0,0)时 f(x,y)=ysm I 当点P(x,y)沿直线y=x趋于(00)时, lim f(,)=limxsin 不存在 所以f(x,y)在(0,0)不连续cos(x 2y) 2y sin( x 2y), y z = − + −   dy y z dx x z dz , ) 4 ( , ) 4 ( , ) 4 (         +   = (4 7 ). 8 2 =  −  例 3 计算函数 yz e y u = x + + 2 sin 的全微分. 解 =1,   x u , 2 cos 2 1 yz ze y y u = +   , yz ye z u =   所求全微分 ) . 2 cos 2 1 ( ze dy ye dz y du dx yz yz = + + + 例 4 试证函数      =  = + 0, ( , ) (0,0) , ( , ) (0,0) 1 sin ( , ) 2 2 x y x y x y x y f x y 在点 (0,0) 连续且偏 导数存在，但偏导数在点 (0,0) 不连续，而 f 在点 (0,0) 可微. 思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分 (x, y)  (0,0) ，(x, y) = (0,0) 讨论. 证 令 x =  cos , y =  sin , 则 ( , ) (0,0) 2 2 1 lim sin x y xy x y + →      1 lim sin cos sin 2 0 =  → = 0 = f (0,0), 故函数在点 (0,0) 连续, f x (0,0) = x f x f x   −  → ( ,0) (0,0) lim 0 0, 0 0 lim 0 =  − = x→ x 同理 (0,0) = 0. y f 当 (x, y)  (0,0) 时， f x (x, y) = , 1 cos ( ) 1 sin 2 2 3 2 2 2 2 2 x y x y x y x y y + + − + 当点 P(x, y) 沿直线 y = x 趋于 (0,0) 时, lim ( , ) ( , ) (0,0) f x y x x x → , 2 | | 1 cos 2 | | 2 2 | | 1 lim sin 3 3 0         = − → x x x x x x 不存在. 所以 f (x, y) x 在 (0,0) 不连续