注意：我们规定无论a,b,c的相对位置如何，总有上述等式成立. 性质4如果在区间[a,上，fx)=l,则心fx)dx=dx=b-a 性质5如果在区间[a,b]上，f(x)≥0，则 f(x)dx20 (a<b) 证明：因f（x)≥0，故f(5)20i=1,2,3,.,川，又因 △x≥00=1,2.，m,故∑f5△x,≥0， 设入=max{△x,△x2,△xn,→o时，便得欲证的不等式 推论1如果在[a,b]上，fx)≤g(x,则 fx)dx≤∫gx)dx(a<b) 推论2fx)dxs/xldx 性质6设M与m分别是函数f(x)在a,b]上的最大值及最小值，则 m(b-a)s[f(x)dxs M(b-a)(a<b) 性质7（定积分中值定理）如果函数f(x)在闭区间a,b]上连续，则在积分区间 [a,b]上至少存在一点5，使下式成立： [f(x)dx=f(EX(b-a)(asssb) 正男：利用性质么m≤。厂)d≤M:有由网区间上连续函数的介值定里， 知在a,创上至少存在一点5，使f份)=a-6fdx, 故得此性质.显然无论a>b,还是a<b, y↑ y=f八x) 上述等式恒成立。 f5) 积分中值定理的几何释意如下：在区间 [a,b]上至少存在一个5，使得以区间[a,b] 为底边，以曲线y=f(x)为曲边的曲边梯形 a b 注意：我们规定无论 abc , , 的相对位置如何，总有上述等式成立． 性质 4 如果在区间 [ , ] a b 上， f (x) 1,则 ( )d b a f x x =  d b a x b a = −  性质 5 如果在区间 [ , ] a b 上， f (x)  0,则 ( )d 0 b a f x x   (a  b) 证明：因 f (x)  0, 故 f ( ) 0(i 1,2,3, ,n)  i  =  ，又因 x 0(i 1,2, ,n)  i  =  ，故 ( ) 0 1    = i n i i f  x ， 设  = max{x1 ,x2 ,  ,xn }, → o 时，便得欲证的不等式． 推论 1 如果在 [ , ] a b 上， f (x)  g(x),则 ( )d b a f x x   ( )d b a g x x  (a  b) 推论 2 ( )d b a f x x   ( ) d b a f x x  性质 6 设 M 与 m 分别是函数 f (x)在[a,b] 上的最大值及最小值，则 m(b − a)  ( )d b a f x x   M (b − a) (a  b) 性质 7 （定积分中值定理） 如果函数 f (x) 在闭区间 [ , ] a b 上连续，则在积分区间 [ , ] a b 上至少存在一点  ，使下式成立： ( )d ( )( ) b a f x x f b a = −   （ a    b ） 证明：利用性质 6， 1 ( )d b a m f x x M b a   −  ；再由闭区间上连续函数的介值定理， 知在 [ , ] a b 上至少存在一点  ，使 1 ( ) ( )d b a f f x x a b  = −  ， 故得此性质．显然无论 a b  ，还是 a b  ， 上述等式恒成立． 积分中值定理的几何释意如下：在区间 [a，b]上至少存在一个  ，使得以区间[a, b] 为底边, 以曲线 y = f (x) 为曲边的曲边梯形 y x o a b  f ( ) y = f (x)