由Poincare开创“常微分方程定性理论”，Lyapunov的运动稳定性理论：Birkhofff的 动力系统结构稳定性、分岔、混沌等 由解析研究转到定性研究：由函数研究转到曲线的研究：由等式转到不 等式：由小范围转到大范围：由数值的研究转到拓扑性质的研究：由定解转 到曲线的整体研究。即所谓的实定性理论。 内容： 3.存在唯一性问题、4.奇解5.高阶ODE6.线性微分方程组7.定性理 论初步9.边值问题 Morse,Smale,Kolm gov,Arnold等是近几十年来动力系统的风云人物 例5方程两边对积分一次，我们有 皇-g+G 再积分一次，我们有 =+Cit+C2 其中C,C2是两个任意常数。无穷多个解，给出其初始状态（初始位置、初始 速度) (0)=0,(0)=% 代入解中，可以确定唯一解 y=-59t2+ot+ 对于一般n阶常微分方程，积分求解须积分n次，产生n个独立的任意常 数。因此，方程的一般解（通解）可表示为 x=t,C1,C2.·,Cn） 独立：工，士，…，x-关于C,2,…,Cn的Jacob行列式不为0，即 D(z,,…,xn-) ≠0 D(C,c2,…,Cm) 0r”…8 要确定唯一解，即确定n个任意常数，我们须给出m个定解条件(Cauchy初 值条件) x(to）=0,x（(o)=z1,…,xm-9(to)=xn-1. 0.0.2)dPoincaremM/~á©êß½5nÿ0"Lyapunov$ƒ­½5nÿ¶Birkhoff ƒÂX⁄(­½5!© !·b d)¤Ôƒ=½5Ôƒ¶dºÍÔƒ=­ÇÔƒ¶d™=ÿ ™¶dâå=åâå¶dÍäÔƒ=ˇ¿5üÔƒ¶d½)= ­ÇNÔƒ"=§¢¢½5nÿ" SNµ 3. 3çò5ØK!4. ¤)5. pODE 6. Ç5á©êß|7. ½5n ÿ–⁄9. >äØK Morse, Smale,Kolmogrov,Arnold¥CAõc5ƒÂX⁄º<‘" ~5ê߸>Èt»©ògß·Çk dy dt = −gt + C1 2»©ògß·Çk y = − 1 2 gt2 + C1t + C2 Ÿ•C1, C2¥¸á?ø~Í"ðıá)ßâ—Ÿ–©G(–©†ò!–© Ñ›) y(0) = y0, y0 (0) = v0 ì\)•ßå±(½çò) y = − 1 2 gt2 + v0t + y0. ÈuòÑn~á©êßß»©¶)L»©ngß)ná’·?ø~ Í"œdßêßòÑ)£œ)§åL´è x = φ(t, C1, C2, · · · , Cn). ’·µx, x0 , · · · , x(n−1)'uC1, c2, · · · , CnJacob1™ÿè0ß= D(x, x0 , · · · , x(n−1)) D(C1, c2, · · · , Cn) =           ∂x ∂C1 ∂x ∂C2 · · · ∂x ∂Cn ∂x0 ∂C1 ∂x0 ∂C2 · · · ∂x0 ∂Cn · · · · · · ∂x(n−1) ∂C1 ∂x(n−1) ∂C2 · · · ∂x(n−1) ∂Cn           6= 0 á(½çò)ß=(½ná?ø~Íß·ÇLâ—ná½)^á£Cauchy– ä^᧠x(t0) = x0, x0 (t0) = x1, · · · , x(n−1)(t0) = xn−1. (0.0.2)