高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 点P的去心6邻域，记作U(P,),即 U(P,6)={P:0<PPk6} 如果不需要强调邻域的半径6则用U(P)表示点P的某个邻域，点P的去心邻域记作 U()。· 点与点集之间的关系： 任意一点P∈R与任意一个点集EcR之间必有以下三种关系中的一种： (1)内点：如果存在点P的某一邻域UP),使得UPcE,则称P为E的内点。 (2)外点：如果存在点P的某个邻域U(P),使得UP)nE=O,则称P为E的外点。 (3)边界点：如果点P的任一邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点，则称P点 为E的边点。 E的边界点的全体，称为E的边界，记作E。 E的内点必属于E;E的外点必定不属于E,而E的边界点可能属于E,也可能不属于E。 (4)聚点：如果对于任意给定的0，点P的去心邻域U(P,6)内总有E中的点，则称 P是E的聚点. 由聚点的定义可知，点集E的聚点P本身，可以属于E,也可能不属于E。 例如，设平面点集E={x,y1<x+y≤2}，则满足1<x+y<2的一切点x,)都是E的内 点：满足x+y=1的一切点(x,y)都是E的边界点：它们都不属于E:满足x2+y=2的一切点 (化，y)也是E的边界点：它们都属于E;点集E以及它的界边E上的一切点都是E的聚点. 开集：如果点集E的点都是内点，则称E为开集。 闭集：如果点集的余集E为开集，则称E为闭集。 例如，E={,y1<x2+y2<2}是开集；E={(x,y1≤2+y≤2}是闭集； 集合{x, y)1<x+y≤2}既非开集，也非闭集。 连通性：如果点集E内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于E,则 称E为连通集。 区域（或开区域）：连通的开集称为区域或开区域。 例如，E={化，y1<x2+y2<2}是区域。 闭区域：开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域。 例如，E={x,y1≤2+y2≤2}。 2