上具有连续导数.现在计算该曲线弧的长度. 分析：已知1∈[a,B],1+d]c[a,],此时相应的小弧段的长度为： △s≈VAx)2+(△y2, 由于Ax≈dx=p')dt,△y≈dy=w')dr,从而弧长元素为： ds=/(dx)+(dy)=o(t)+w()dt, 于是所求孤长为：5=V0+w产而d1. (2)若曲线弧由直角坐标方程y=fx)给出，在’ 区间[a,b]上具有一阶连续的导数，计算曲线y=f(x)的 长度5. 取x为积分变量，则x∈[a,b,在[a,b]上任取一小区间可a [x,x+],那么这一小区间所对应的曲线弧段的长度△可以用它的弧微分山来近似.此 时迪城领有参数方起仁a≤S6.于是，英长无素务 ds=+f(x)d,(ds=1+y dx) 即所求弧长为：s=V1+f(x)dx.(s=V+y产dx). (3)若曲线弧以极角日为参数： [x=p(0)cos0 y=p(o)sino'asosB. 于是，弧长元素为：ds=√x2(0)+y2(0)d0=√p2(0)+p(0d0. 从而所求弧长为：s=[√p(0)+p2(d8. 3.例愿讲解 例1计算曲线y=子a≤x≤)的派长. 解：已知：ds=V+(WF}dx=√+xdx,因此所求弧长为： -f-0-a9 例2两根电线杆之间的电线，由于其本身的重量，下垂成曲线形，这样的曲线叫悬 99 上具有连续导数．现在计算该曲线弧的长度． 分析：已知 t [ , ]   ， +  [ , d ] [ , ] t t t   ，此时相应的小弧段的长度为： 2 2    +  s x y ( ) ( ) ， 由于   = x x t t d ( )d  ，   = y y t t d ( )d  ，从而弧长元素为： 2 2 2 2 d (d ) (d ) ( ) ( ) d s x y t t t = + = +     ， 于是所求弧长为： 2 2 s t t t ( ) ( ) d   = +      ． （2）若曲线弧由直角坐标方程 y f x = ( ) 给出，在 区间 [a,b] 上具有一阶连续的导数，计算曲线 y = f (x) 的 长度 s． 取 x 为积分变量，则 x [a,b] ,在 [a,b] 上任取一小区间 [x, x + dx]，那么这一小区间所对应的曲线弧段的长度 s 可以用它的弧微分 ds 来近似．此 时曲线弧有参数方程： ( ) x x y f x  =   = ， a x b   ．于是，弧长元素为 ds f x  dx 2 = 1+ ( ) ，（ 2 d 1 d s y x = +  ） 即所求弧长为：   2 1 ( ) d b a s f x x = +   ．（ 2 1 d b a s y x = +   ）． （3）若曲线弧以极角  为参数： ( )cos ( )sin x y        =   = ，     ， 于是，弧长元素为： 2 2 d ( ) ( ) d s x y = +      2 2 = +      ( ) ( ) d  ． 从而所求弧长为： 2 2 s ( ) ( ) d   = +        ． 3．例题讲解 例 11 计算曲线 ( ) 3 2 2 3 y = x a  x  b 的弧长． 解：已知： 2 d 1 ( ) d 1 d s x x x x = + = + ，因此所求弧长为： 3 2 2 2 3/ 2 3/ 2 1 d (1 ) [(1 ) (1 ) ] 3 3 b b a a s x x x b a = + = + = + − +  ． 例 12 两根电线杆之间的电线，由于其本身的重量，下垂成曲线形，这样的曲线叫悬