《线性代数》第六章习题解答 (WUV)也是V的子空间。 证.由已知条件及维数定理知V,和飞中有一个是零子空间，不妨设V为零子空间，则(W,UV2) =V,显然也是V的子空间。 21. 下列变换中哪些是线性变换？ ()在L中，对每个A∈,规定T(A)=PAQ。其中P,Q是两个固定的n阶方阵 (②)在R中，规定T(x,x,x))=(x,x,x) (3)在R中，规定T(x,x)')=(x,-x1)': (④在c[a,b]中，规定T(f(x)=fx)d。 解(1)任意A,B∈M,任意X∈R,有T(A+B)=P(A+B)Q=PAQ+PG-T(A)+T(B), T(XA)=P(XA)QF入PAQ=入T(A),所以T是线性变换： (2)设X=(x,x,x),Y=(y,y2,当)， T (X+Y)=((xtya):,xity+xatya,xtya) (3)设X=(x,xa),Y=(y,y)',则 T(X+Y)=(+y2,-x-y)=(xa,-x)+(ya,-y)=T(X)+T(Y), T(AX)=(x,x)(xx)=T(X) 所以T是线性变换， (4)f(x),g(x)∈C[a,b],则 T (f+g)=[(f(x)+g(x))dx=T (f)+T (g), T(Af)=广fx)d=AT(E) 所以T是线性变换 e-89 wa 9G) 此变换关于y轴对称：(2)投影到y轴上：(3)关于直线y=x对称：(4)顺时针方向旋转90°。 23.在R中，定义T(x,y,z))=(xy,x-y,z)', (1)求T在标准基e1e2e,下的矩阵： (2)求T在基a=(1,0,0),a:=(1,1,0)7,a(1,1,1)下的矩阵 《线性代数》第六章习题解答 -10- （V1∪V2）也是 V 的子空间。 证.由已知条件及维数定理知 V1 和 V2 中有一个是零子空间，不妨设 V1 为零子空间，则（V1∪V2） =V2，显然也是 V 的子空间。 21．下列变换中哪些是线性变换？ (1)在 Mn 中，对每个 A∈Mn，规定 T（A）=PAQ。其中 P，Q 是两个固定的 n 阶方阵： (2)在 R 3 中，规定 T（（x1，x2，x3）T）=（x1 2，x1+x2，x3）T； (3)在 R 2 中，规定 T（（x1，x2）T）=（x2，-x1）T； (4)在 C[a，b]中，规定 T（f（x））=  b a f (x)dx 。 解（1）任意 A，B∈Mn，任意λ∈R，有 T（A+B）=P（A+B）Q=PAQ+PBQ=T（A）+T（B）， T（λA）=P（λA）Q=λPAQ=λT(A),所以 T 是线性变换； （2）设 X=（x1，x2，x3）T，Y=（y1，y2，y3）T， T（X+Y）=（（x1+y2）2，x1+y1+ x2+y2，x3+y3）T 而 T（X）+T（Y）=（x1 2 +y1 2，x1+ x2+ y1+y2，x3+y3） T， 显然 T（X+Y）≠ T（X）+T（Y），所以 T 不是线性变换； （3）设 X=（x1，x2） T，Y=（y1，y2） T，则 T（X+Y）=（x2+ y2，-x1-y1） T =（x2，-x1） T +（y2，-y1） T =T（X）+T（Y）， T（λX）=（λx2，-λx1）T =λ（x2，-x1）T =λT（X） 所以 T 是线性变换； （4）f（x），g（x）∈C[a，b]，则 T（f+g）=  + b a ( f (x) g(x))dx =T（f）+T（g）， T（λf）=  b a f (x)dx=λT（f） 所以 T 是线性变换 。 22．说明 xoy 平面上变换 T         y x =A         y x 的几何意义，其中 （1）A=        − 0 1 1 0 ； （2）A=         0 1 0 0 ； （3）A=         1 0 0 1 ； （4）A=         −1 0 0 1 ； 解（1）T         y x =A         y x =        − 0 1 1 0         y x =        − y x 此变换关于 y 轴对称；（2）投影到 y 轴上；（3）关于直线 y=x 对称；（4）顺时针方向旋转 90° 。 23．在 R 3 中，定义 T（（x，y，z） T）=（x+y，x-y，z） T， （1）求 T 在标准基ε1ε2ε3 下的矩阵； （2）求 T 在基α1=（1，0，0）T，α2=（1，1，0）T，α3=（1，1，1）T 下的矩阵