《线性代数》第六章习题解答 解(2)设B=(b),由AB=BA,得b0,i≠j,i,j=l,2,…,n 所以C(A)的维数为n,一组基为E,i=1,2,,n 17.在R中，求由向量组a=(1,1,0,0) =(1,0,1,0),a=(0,0,0,1),所 生成的子空间的 一个基和维数 解.因为a,02”a,线性无关，所以L(a1a:a,)的维数为3，一个基为a10:a。 18.求由下列向量ā，a,所生成的子空间与由B,B,生成的子空间的交与和的维数和一个基。(1) a=(1,2,1,0),a=(-1,1,1,1), =(2,-1,0,1),B=(1,-1,3,7) (2)a=(1,1,0,0) ,a=(1,0,1,1) B=(0,0,1,1)',B=(0,1,1,0) 解(1) 1-121 1-12 1 (1-121 0117 (a1a,B,B)= 21-1-1 03-5-3 1103 02-22 0013 011701170000 所以L(a1a:)+L(BB)=L(a1a:B,B:)的维数为3，一个基为： aa B 因为dimL(a1a)=dimL(BB:)=2,由维数定理知 dim L ()L (BB:)=1 又因为 a1-4a23B+B=0,得： a-4a2=3B-82EL (aa)nL(BB3), 所以L(a1a)nL(B,B)的一个基为a,-4a(5,-2,-3,-4)'。 1100 (1100Y 1100Y 1001 0-101 010-1 (2)(a1a:B,B) 0111 0111 0012 (0110 000-1 0001 所以L(a1a)+(B,B)=L(a1a:B,B:)的维数为4，一个基为： 因为dimL(aa)=dimL(B,B)=2,由维数定理知 dim L a a2)nL B B2)=0 所以L(a1az)∩L(B:B:)是零子空间。 19.设V,与V2分别是齐次线性方程组x+x++x,=0与x=x==x的解空间，证明R=Y,⊕V,。 1 -1 1 0 0 1 证V,的一个基为5 0 0 V,的一个基为5n=1 0 (0 所以V,,的一个基为5 52 20.设V是n维线性空间，V与V,是V的两个子空间，并且dim(V+W)=din(nV:)+1。证明《线性代数》第六章习题解答 -9- 解（2）.设 B=（bij），由 AB=BA，得 bij=0，i≠j，i，j=1，2，…，n。 所以 C（A）的维数为 n，一组基为 Eii，i = 1,2,…,n 。 17．在 R 4 中，求由向量组 α1=（1，1，0，0） T，α2=（1，0，1，0） T，α3=（0，0，0，1） T，所 生成的子空间的一个基和维数。 解.因为α1，α2，α3 线性无关，所以 L（α1α2α3）的维数为 3，一个基为α1α2α3。 18.求由下列向量α1α2 所生成的子空间与由β1，β2 生成的子空间的交与和的维数和一个基。（1） α1=（1，2，1，0）T，α2=（-1，1，1，1）T， β1=（2，-1，0，1）T，β2=（1，-1，3，7）T， （2）α1=（1，1，0，0）T，α2=（1，0，1，1）T， β1=（0，0，1，1）T，β2=（0，1，1，0）T 。 解（1） （α1α2β1β2）=               − − − 0 1 1 7 1 1 0 3 2 1 1 1 1 1 2 1               − − − − → 0 1 1 7 0 2 2 2 0 3 5 3 1 1 2 1               − → 0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 1 7 1 1 2 1 所以 L（α1α2）+L（β1β2）=L（α1α2β1β2）的维数为 3，一个基为: α1α2β1 。 因为 dim L（α1α2）=dim L（β1β2）=2，由维数定理知 dim L（α1α2）∩L（β1β2）=1 又因为 α1-4α2-3β1+β2=0，得: α1-4α2=3β1-β2∈L（α1α2）∩L（β1β2）， 所以 L（α1α2）∩L（β1β2）的一个基为α1-4α2=（5，-2，-3，-4） T 。 （2）（α1α2β1β2）=               0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0               − − → 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0               − → 0 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 1 1 1 0 0 所以 L（α1α2）+L（β1β2）=L（α1α2β1β2）的维数为 4，一个基为: α1α2β1β2。 因为 dim L（α1α2）=dim L（β1β2）=2，由维数定理知 dim L（α1α2）∩L（β1β2）=0 所以 L（α1α2）∩L（β1β2）是零子空间。 19．设 V1 与 V2 分别是齐次线性方程组 x1+x2+…+xn=0 与 x1=x2=…=xn 的解空间，证明 R n =V1⊕V2。 证.V1 的一个基为                − = 0 0 1 1 1   ，                − = 0 1 0 1 2   ，…，                − − = 1 0 0 1 1   n ，V2 的一个基为                 = 1 1 1 1   n ， 所以 V1⊕V2 的一个基为ξ1，ξ2，…，ξn-1，ξn。故 R n =V1⊕V2 。 20．设 V 是 n 维线性空间，V1与 V2是 V 的两个子空间，并且 dim（V1+V2）=dim（（V1∩V2）+1 。证明