《线性代数》第六章习题解答 1100(3) =(1+x,1+x,xx,x2) 1010 0100 0011(0 1 0-10 =(1+x,1+x2,x+x2,x2) 00 1 0/ 2 -111 (1-1-11八0 =(1+x,1+x,x*x,x2) 所以3+2x+x2关于基1+x,1+x,x+x3,x的坐标为(2,1,0,0) 15.R中分量满足下列条件的全体向量是否组成R的子空间？ (1)x1+x2++x=0: (2)X+x++x。=1: 3)x.=0 (a+b)++(a+b)=0即a+B∈V, 19.+..+1a=0 即λa∈V, 亦即V,对向量加法和向量数乘法封闭。所以Y,是R"的子空间， 2 ta,Be,a=（a,,a), (a,tba)++(ab.）=2即a+BEV2 亦即V对向量加法不封闭。所以V2不是R的子空间。 (3)记V=x=(X,. ,Xn),X,·,X∈R,满足x10,可以证明V,对向量加法和向量数乘 法封闭。所以V是R的子空间 16.设A∈Mn (1)证明：与A可交换的n阶方阵的全体组成M的一个子空间，记此子空间为C(A): 1 (2)给定对角矩阵A= 2 ,求C(A)的维数和一组基。 n 证：(I).VB,DEC(A),元ER,则BA=AB,DA=AD。于是 (B+D)A=BA+DA=AB+AD=A (B+D) (入B)A=入(BA)=A(AB)=A(入B) 即B+D,AB∈C(A),所以C(A)是一个子空间. 《线性代数》第六章习题解答 -8- =（1+x，1+x2，x+x3，x 3） 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 −                             0 1 2 3 =（1+x，1+x2，x+x3，x 3）               − − − − 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0               0 1 2 3 =（1+x，1+x2，x+x3，x 3）               0 0 1 2 所以 3+2x+x2 关于基 1+x，1+x2，x+x3，x 3 的坐标为（2，1，0，0） T 。 15．R n 中分量满足下列条件的全体向量是否组成 R n 的子空间？ （1）x1+x2+…+xn=0； （2）x1+x2+…+xn=1； （3）x1=0 。 解:（1）记 V1={x=（x1，…，xn），x1，…，xn∈R，满足 x1+…+xn=0}， 1 , V ， R，α=（a1，…，an），β=（b1，…，bn ）则 （a1+bB）+…+（an+bN）=0 即α+β∈V1 λa1+…+λan=0 即λα∈V1 亦即 V1 对向量加法和向量数乘法封闭。所以 V1 是 R n 的子空间， （2）记 V2={x=（x1，…，xn），x1，…，xn∈R，满足 x1+…+xn=1} 2 , V ，α=（a1，…，an），β=（b1，…，bn ）则 （a1+bB）+…+（an+bN）=2 即α+β  V2 亦即 V1 对向量加法不封闭。所以 V2 不是 R n 的子空间。 （3）记 V3={x=（x1，…，xn），x1，…，xn∈R，满足 x1=0}，可以证明 V3 对向量加法和向量数乘 法封闭。所以 V3 是 R n 的子空间。 16．设 A∈Mn （1）证明：与 A 可交换的 n 阶方阵的全体组成 Mn 的一个子空间，记此子空间为 C（A）； （2）给定对角矩阵 A=               n  2 1 ，求 C（A）的维数和一组基。 证:（1）. B, D C(A)， R ，则 BA=AB，DA=AD。于是: （B+D）A=BA+DA=AB+AD=A（B+D） （λB）A=λ(BA)=λ(AB)=A(λB) 即 B+D，λB∈C（A），所以 C（A）是一个子空间