《线性代数》第六章习题解答 -23-1 0 01-11 03-3 0 的解空间，求解空间的维数和它的一个基 (0-731 1-23-11-23 -1 01-11 01-11 103-3 -020-2 0-731 (0-731 1-23-1） 01-11 002-4 00-48 所以解空间的维数为1，它的一个基为(-3,1,2,1)。 14.在线性空间R[x]中 (1)证明1+x,1+x,x+x,x是R[x]的一个基： (2)求由基1， (3)求3+2x+关于基1 解.(1)已知R[x的维数为4。并且1+x,1+x,x+x,x线性无关，因为若有实数k,k,k, k使 k1(1+x)+k(1+x2)+k(x+x2)+k,x=0 即 (1100 2)112xd,=a,,010 0100 0011 (1100 由基1式氧落11以.以，父的过接矩陈为}0】0 0100 0011 (3③)3+2x+x2=(1,x,x,x2) 0《线性代数》第六章习题解答 -7-               − − − − − 0 7 3 1 1 0 3 3 0 1 1 1 1 2 3 1               4 3 2 1 x x x x =               0 0 0 0 的解空间，求解空间的维数和它的一个基。 解:               − − − − − 0 7 3 1 1 0 3 3 0 1 1 1 1 2 3 1 →               − − − − − 0 7 3 1 0 2 0 2 0 1 1 1 1 2 3 1 →               − − − − − 0 0 4 8 0 0 2 4 0 1 1 1 1 2 3 1 所以解空间的维数为 1，它的一个基为（-3，1，2，1）。 14.在线性空间 R3[x]中 （1）证明 1+x，1+x2，x+x3，x 3 是 R3[x]的一个基； （2）求由基 1，x，x 2，x 3 到基 1+x，1+x2，x+x3，x 3 的过渡矩阵； （3）求 3+2x+x2 关于基 1+x，1+x2，x+x3，x 3 的坐标。 解.（1）已知 R3[x]的维数为 4。并且 1+x，1+x2，x+x3，x 3 线性无关，因为若有实数 k1，k2，k3， k4 使 k1（1+x）+k2（1+x2）+k3（x+x3）+k4 x 3 =0 即 （k1+k2）+（k1+k3）x+k2x 2 +（k3+k4）x 3 =0 则必有 k1=k2=k3=k4=0 。所以 1+x，1+x2，x+x3，x 3 是 R3[x]的一个基； （2）（1+x，1+x2，x+x3，x 3）=（1，x，x 2，x 3）               0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 由基 1，x，x 2，x 3 到基 1+x，1+x2，x+x3，x 3 的过渡矩阵为               0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 (3)3+2x+x2 =（1，x，x 2，x 3）               0 1 2 3